„Uniform tér” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a
kisebb formai javítások
(→‎Topológia: metrizálhatóság)
a (kisebb formai javítások)
A [[Matematika|matematikában]], azon belül a [[topológia]] területén használatos fogalom az '''uniform tér''', ami az ''egyenletes'' tulajdonságokat ([[teljes]]ség, [[egyenletes konvergencia]], [[egyenletesen folytonos]]) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy '''uniform struktúrával''' felruházott halmaz. Erősebb, mint egy [[topologikus tér]] (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy [[metrikus tér]] vagy egy [[topologikus csoport]].
== Története ==
André Weil 1937-es definíciója előtt az egyenletességet, ahogy a teljességet, a metrikus terekre gondolva tárgyalták. Nicolas Bourbaki kiterjesztette a definíciót a ''Topologie Générale'' című könyvében, és John Tukey adta a fedéses definíciót. Weil jellemezte is az uniform tereket félmetrikákkal.
== Motiváció ==
A metrikus terekben a folytonosság és az egyenletesség fogalmát δ-kkal és ε-okkal definiálják, amik numerikusan írják le a távolságot. Topologikus terekben a folytonosságot nyílt környezetekkel fejezik ki, ahol is az ''a''∈''G'' kifejezés helyettesíti |''x''−''a''|<δ-t. Ezzel a folytonosság átvihető topologikus terekre.
 
Az uniform terekben az |''x''−''a''|<δ kifejezést ''a''∈''U''[x] pótolja. Ezáltal az egyenletesség kiterjeszthető az uniform terekre.
 
Az uniform struktúra lehetővé teszi a közelség egyenletes, egész térre érvényes definícióját. A környékek axiómái lehetővé teszik a közelség nem numerikus értelmezését, mivel magukban foglalják a háromszög-egyenlőtlenséget, és a halmazok felezését.
 
Egy uniform fedésben szereplő halmazok ugyanolyan méretűnek számítanak. A finomítás az axiómákkal együtt azt jelenti, hogy minden uniform fedéshez van fele akkora méretű uniform fedés.
 
== Definíció ==
=== Környékekkel ===
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a környékek (franciául ''entourage'') halmaza, a következő feltételekkel:
 
# Minden <math>U\in\Phi</math>-hez annak „tükörképe”, <math>\{(y, x):(y, x)\in U\}</math> is eleme <math>\Phi</math>-nek.
 
=== Uniform fedéssel ===
Az <math>(X, \Theta)</math> páros uniform tér, ha ''X'' alaphalmaz, és Θ fedések egy családja, amikre teljesülnek a következők:
 
 
Legyen most az uniform tér fedési struktúrával adva. Ekkor az ∪{''A''×''A'': ''A''∈''P''}-ket tartalmazó halmazok az adott uniform tér szomszédságai, ahol ''P'' végigfut a tér uniform fedésein. Ez a két transzformáció egymás inverze.
=== Félmetrikával ===
Jelölje ''X'' az alaphalmazt, és legyen a <math>d\,:\; X\times X \to \R \;</math> leképezés félmetrika:
 
# <math>d(x,x)=0</math>
# <math>d(x,y)=d(y,x)</math> szimmetria
# <math>d(x,y)\leq d(x,z)+ d(z,y)</math> [[háromszög-egyenlőtlenség]]
 
A megszámlálható fundamentális rendszerrel megadott uniform terekből visszanyerhető a pszeudometrika.
== Kritériumok környékbázisra ==
Ahhoz, hogy egy <math>\mathcal B</math> halmazrendszer környékbázis legyen, a következő feltételeknek kell eleget tennie:
 
<math>\mathcal B</math> akkor és csak akkor környezetbázis, ha teljesíti ezeket a feltételeket. Ekkor a <math>\mathcal B</math> valamely elemét tartalmazó halmazok adják a <math>\mathcal B</math> bázisú uniform tér környékeit.
 
== Kapcsolat más struktúrákkal ==
Bármely <math>(X, \Phi)</math> metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy <math>V\subseteq X\times X</math> pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy <math>\varepsilon>0</math> valós szám, hogy minden <math>x</math>, <math>y</math> párra, ha <math>d(x, y)<\varepsilon</math>, akkor <math>(x, y)</math> benne van <math>V</math>-ben.
 
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy <math>G</math> halmaz pontosan akkor legyen [[nyílt halmaz|nyílt]], ha bármely <math>x\in G</math>-hez létezik egy olyan <math>V</math> környék, hogy <math>V[x]</math> (<math>V</math>-nek <math>x</math>-szel vett szelete, azaz <math>\{y: (x, y)\in V\}</math>) része legyen <math>G</math>-nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.
 
== Topológia ==
Egy ''X'' halmazon megadott unitér struktúra topológiát is generál az ''X'' halmazon. Ebben egy ''G'' halmaz nyílt, ha ''G'' tartalmazza minden ''x'' pontjának egy ''V'' környékét. Az így kapott topologikus térből nem állítható vissza egyértelműen az uniform struktúra; más szóval, több uniform struktúra is adhatja ugyanazt a topologikus teret.
 
 
Sőt, az ''X'' uniformizálható topologikus térre ekvivalensek:
* ''X'' Kolmogorov-tér
* ''X'' Hausdorff-tér
* ''X'' Tyihinov-tér.
 
Egy Hausdorff-féle uniform tér metrizálható, ha generálható félmetrikák megszámlálható családjával. Ez az uniform struktúra egyetlen félmetrikával is generálható, ami a Hausdorff-tulajdonság miatt metrika. Ez a gondolatmenet félnormákkal is eljátszható.
 
== Egyenletesen folytonos függvények ==
Az egyenletesen folytonos függvények épp azok a függvények, amik környéket környékbe visznek. Ekvivalensen, fedési struktúra ősképe fedési struktúra.
 
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük.
== Teljesség ==
A teljes metrikus terek alapján bevezethetők a teljes uniform terek. Ehhez Cauchy-sorozatok helyett ''Cauchy-szűrőket'' használnak.
 
Megfordítva, egy uniform tér teljes, ha az összes benne levő Cauchy-szűrő konvergens. Minden kompakt Hausdorff-tér teljes metrikus tér teljes uniform tér is a topológiájához illeszkedő uniform struktúrájával.
 
Legyenek ''X'' és ''Y'' uniform terek, és ''Y'' ezen kívül még teljes is. Jelölje ''A'' ''X'' egy sűrű részhalmazát! Ekkor az f: A → Y egyenletesen folytonos függvények egyértelműen kiterjeszthetők az egész ''X'' uniform térre.
 
A teljes uniformizálható terek azok a topologikus terek, amik a topológiájukhoz illeszkedően teljes uniform térré tehetők.
Minden uniform tér egyértelműen teljessé bővíthető.
 
== Források ==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie''. 3. kiadás Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
* I. M. James: ''Introduction to Uniform Spaces''. Cambridge University Press, 1990, ISBN 0521386209
* [http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Topologie/top.pdf Halmazelméleti topológia jegyzet] (1,72&nbsp;MB)
 
== Külső link ==
[http://books.google.hu/books?id=mxE8Tq2X4AQC&pg=PA112&lpg=PA112&dq=uniform+t%C3%A9r&source=bl&ots=8JvsJC-PHC&sig=YxY9Ha-Q0n8xuowXqSUee5b0w_o&hl=hu&ei=sbh3TInkMZ-jOOaQ7dcG&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBoQ6AEwAQ#v=onepage&q=uniform%20t%C3%A9r&f=false Modern alkalmazott analízis]
{{csonk-dátum|csonk-mat|2007 februárjából}}
 
[[Kategória:Topológia]]
 
[[en:Uniform space]]
[[nl:Uniforme ruimte]]
[[zh:一致空间]]
 
[[Kategória:Topológia]]
131 512

szerkesztés

Navigációs menü