„Számtani közép” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Bot: következő hozzáadása: ms:Min aritmetik |
|||
3. sor: | 3. sor: | ||
<center><math>A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}</math></center> |
<center><math>A(a_1;...;a_n)=\frac{a_1+...+a_n}{n}</math></center> |
||
==Értelmezése== |
==Értelmezése== |
||
Az ''a'' és a ''b'' számok számtani közepe ''m'' akkor és csak akkor, ha '' |
Az ''a'' és a ''b'' számok számtani közepe ''m'' akkor és csak akkor, ha ''m''-''a''=''b''-''m''. |
||
Legyenek <math>X_1, \dots, X_n</math> ugyanolyan [[eloszlás]]ú, egymástól független [[valószínűségi változó]]k μ várható értékkel és σ szórással, akkor az <math>m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> középérték szintén μ körül ingadozik, és [[szórás]]a kisebb, <math>\sqrt{\sigma ^2/n}</math>. Ha tehát egy valószínűségi változó [[várható érték]]e és szórása is véges, akkor a [[Csebisev-egyenlőtlenség]] miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével [[konvergencia|sztochasztikusan konvergál]] a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: [[medián]]). |
Legyenek <math>X_1, \dots, X_n</math> ugyanolyan [[eloszlás]]ú, egymástól független [[valószínűségi változó]]k μ várható értékkel és σ szórással, akkor az <math>m:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i</math> középérték szintén μ körül ingadozik, és [[szórás]]a kisebb, <math>\sqrt{\sigma ^2/n}</math>. Ha tehát egy valószínűségi változó [[várható érték]]e és szórása is véges, akkor a [[Csebisev-egyenlőtlenség]] miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével [[konvergencia|sztochasztikusan konvergál]] a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: [[medián]]). |
||
== A számtani középre vonatkozó alaptétel == |
== A számtani középre vonatkozó alaptétel == |
||
A lap 2010. október 8., 19:24-kori változata
Számtani vagy aritmetikai középértéken darab szám átlagát, azaz a számok összegének -ed részét értjük. A számtani közepet általában betűvel jelöljük:
Értelmezése
Az a és a b számok számtani közepe m akkor és csak akkor, ha m-a=b-m.
Legyenek ugyanolyan eloszlású, egymástól független valószínűségi változók μ várható értékkel és σ szórással, akkor az középérték szintén μ körül ingadozik, és szórása kisebb, . Ha tehát egy valószínűségi változó várható értéke és szórása is véges, akkor a Csebisev-egyenlőtlenség miatt a mintaközép a minta elemszámának növelésével sztochasztikusan konvergál a valószínűségi változó várható értékéhez. Tehát a számtani közép alkalmas a várható érték becslésére, viszont érzékeny a nem tipikus adatokra (lásd: medián).
A számtani középre vonatkozó alaptétel
Tétel: Ha a,b,c valós számok, és b=A(a,c), vagyis b az a és c számok számtani közepe, akkor b-a = c-b = (c-a)/2. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy b az a és a c számoktól egyenlő távolságra (vagyis „középen”) helyezkedik el a számegyenesen. Valóban, hiszen ha , akkor és .
Adott valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok legkisebbike, és nem lehet nagyobb, mint a számok legnagyobbika:
Algebrai tulajdonságok
Ha a tetszőleges számsorozatot teszőlegesen hosszan bővítjük e számok számtani közepével, akkor az így kibővített sorozat tagjainak számtani középértéke megegyezik az eredeti számtani középpel:
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség:
Számtani sorozatok
Számtani sorozatban – az elsőt kivéve – bármelyik tag a két szomszédjának számtani közepe. Általában tag az és tagok számtani közepe, ha pozitív egészek. Ennek megfordítása is igaz (ha egy sorozatban bármely két tag a szomszédos tagok számtani közepe, akkor az egy számtani sorozat), mégpedig egyszerű következménye a számtani középre vonatkozó alaptételnek.
Súlyozott számtani közép
A számtani középnek súlyozott változata is értelmezhető. Alkalmazzák például a keverési feladatokban, a valószínűségszámításban és a statisztikában.
A súlyozott számtani közép számítása:
- .
ahol az xi számok rendre a wi súlyokkal szerepelnek.
A keverési feladatokban xi jelöli a koncentrációt, vagy a hőmérsékletet, és wi a térfogatot, vagy a tömeget.
A statisztikai alkalmazásokban az xi adatpontokhoz tartozó wi súlyok azt mutatják, hogy az adott adatpont hányszor jelenik meg a mintában.
Több minta összetevésekor az egyes minták középértékeit a megfelelő minták elemszámával súlyozzák.
A valószínűségszámításban, ha az valószínűségi vektorváltozók közös várható értéke , de szórásuk rendre , akkor a súlyozott középérték körül ingadozik, és szórásnégyzete
- .
Ha most
- ,
akkor
- .
A Chauchy–Schwarz–Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alapján
- .
A választás minimalizálja a középérték szórását. A súlyok választása mutatja, hogy melyik adatnak mekkora fontosságot tulajdonítunk.
Alkalmazás
A számtani közepet additív – magyarul összeadható – mennyiségek átlagolására használjuk (például magasságok átlaga, testsúlyok átlaga stb.)
Függvény középértéke
A Riemann-integrálható függvények középértéke a számtani közép általánosításaként fogható fel.
Az Riemann-integrálható függvény középértéke
Ha most egyenlő osztásközöket veszünk, ahol osztópontok, és a két szomszédos osztópont közötti távolság , akkor az
számtani közép tart az középértékhez.
Ha f folytonos, akkor az integrálszámítás középértéktétele szerint létezik , amire , a függvény legalább egy helyen felveszi középértékét.
A középértéknek is van súlyozott változata, ahol is a súlyfüggvény pozitív minden -re. Ekkor a súlyozott középérték
- .
Az mértéktérben, ahol , a Lebesgue-integrálható függvények középértéke
- .
Valószínűségi tér esetén, ahol , a középérték az
alakra hozható, ami éppen az f(x) várható értéke.
Kapcsolat más közepekkel
Legyen f egy I intervallumon értelmezett szigorúan növő folytonos függvény. Legyenek továbbá adva a súlyok. Ekkor az számok -vel súlyozott kvázi-aritmetikus közepe
- .
Nyilván
Így a különböző f függvényekkel különböző közepek definiálhatók. visszaadja a számtani közepet, a mértani közepet, és a k-adik hatványközepet.
Mindezek a közepek függvényekre is általánosíthatók. Ehhez azt kell még kikötni, hogy az f függvény értelmezési tartománya tartalmazza az u függvény képhalmazát. Ekkor az u függvény középértéke:
Lásd még
- kváziaritmetikai közép (általánosítás)
- A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
- A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség