„Uniform tér” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Teljesség: Cauchy-szűrők bevezetése
(története)
(Teljesség: Cauchy-szűrők bevezetése)
 
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük.
==Teljesség==
A teljes metrikus terek alapján bevezethetők a teljes uniform terek. Ehhez Cauchy-sorozatok helyett Cauchy-szűrőket használnak.
 
Az ''F'' szűrő Cauchy-szűrő az ''X'' uniform térben, ha minden''U'' uniform fedéshez van ''A''∈''F'', hogy ''A''×''A'' ⊆ ''U''. Más szavakkal, egy szűrő Cauchy, ha tartalmaz akármilyen kis méretű halmazokat. A definícióból következik, hogy minden konvergens szűrő Cauchy. Egy Cauchy-szűrő minimális, ha nem tartalmaz durvább Cauchy-szűrőt. Megmutatható, hogy minden Cauchy-szűrő egyértelműen tartalmaz minimális Cauchy-szűrőt; minimális Cauchy-szűrők esetén ez önmaguk. Például az egyes pontok összes környéke minimális Cauchy-szűrő.
==Források==
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie''. 3. kiadás Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6

Navigációs menü