„Uniform tér” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
egyenletesen folytonos függvények |
források |
||
66. sor: | 66. sor: | ||
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük. |
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük. |
||
==Források== |
|||
* [[Boto von Querenburg]]: ''Mengentheoretische Topologie''. 3. kiadás Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6 |
|||
* I. M. James: ''Introduction to Uniform Spaces''. Cambridge University Press, 1990, ISBN 0521386209 |
|||
* [http://www.math.uni-rostock.de/~evers/Topologie/top.pdf Halmazelméleti topológia jegyzet] (1,72 MB) |
|||
==Külső link== |
==Külső link== |
||
[http://books.google.hu/books?id=mxE8Tq2X4AQC&pg=PA112&lpg=PA112&dq=uniform+t%C3%A9r&source=bl&ots=8JvsJC-PHC&sig=YxY9Ha-Q0n8xuowXqSUee5b0w_o&hl=hu&ei=sbh3TInkMZ-jOOaQ7dcG&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBoQ6AEwAQ#v=onepage&q=uniform%20t%C3%A9r&f=false Modern alkalmazott analízis] |
[http://books.google.hu/books?id=mxE8Tq2X4AQC&pg=PA112&lpg=PA112&dq=uniform+t%C3%A9r&source=bl&ots=8JvsJC-PHC&sig=YxY9Ha-Q0n8xuowXqSUee5b0w_o&hl=hu&ei=sbh3TInkMZ-jOOaQ7dcG&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CBoQ6AEwAQ#v=onepage&q=uniform%20t%C3%A9r&f=false Modern alkalmazott analízis] |
A lap 2010. augusztus 28., 18:41-kori változata
Matematikában, azon belül a topológia területén használatos fogalom az uniform tér, ami az egyenletes tulajdonságokat (teljesség, egyenletes konvergencia, egyenletesen folytonos) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy uniform struktúrával felruházott halmaz. Erősebb, mint egy topologikus tér (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy metrikus tér vagy egy topologikus csoport.
Definíció
Környékekkel
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, , ahol a tér alaphalmaza, pedig a környékek (franciául entourage) halmaza, a következő feltételekkel:
- Minden tartalmazza az átlót:
- Ha , és , akkor
- Ha , akkor
- Ha , akkor létezik egy eleme -nek, hogy valahányszor és , akkor
- Minden -hez annak „tükörképe”, is eleme -nek.
Uniform fedéssel
Az páros uniform tér, ha X alaphalmaz, és Θ fedések egy családja, amikre teljesülnek a következők:
- {X} eleme Θ-nak.
- Legyenek a P fedés Θ eleme, és legyen Q fedés, hogy minden A∈P-hez van U∈Q, hogy U tartalmaz minden P-beli B halmazt, ami nem diszjunkt A-tól. Ezt úgy nevezzük, hogy a P fedés a Q fedés finomítása. Ekkor Q∈Θ.
- Ha a P és a Q fedés is eleme Θ-nak, akkor van közös finomításuk Θ-ban.
Θ elemei az uniform fedések, és Θ fedési struktúra.
Tekintve egy P uniform fedést, és egy x eleme X pontot, az x-et tartalmazó P-beli halmazok egyesítése x P méretű környezete. Ez a mérték az egész térre kiterjeszthető.
A két megadási mód könnyen átváltható egymásba. Legyen ugyanis az uniform tér környékekkel megadva. Ekkor egy P fedés uniform, ha minden x∈X-hez van U[x]⊆A környék, ahol A∈P. Az ilyen fedések az uniform tér fedési struktúráját adják.
Legyen most az uniform tér fedési struktúrával adva. Ekkor az ∪{A×A: A∈P}-ket tartalmazó halmazok az adott uniform tér szomszédságai, ahol P végigfut a tér uniform fedésein. Ez a két transzformáció egymás inverze.
Félmetrikával
Jelölje X az alaphalmazt, és legyen a leképezés félmetrika:
- szimmetria
- háromszög-egyenlőtlenség
Tekintsük most a következőkben megadott F rendszert:
- ,
Ez a d félmetrika által definiált rendszer generálja a környékek halmazrendszerét. Környékek lesznek mindazok a részhalmazok, amik tartalmazzák a generátorhalmaz egy elemét. Ha félmetrikák egy családja által definiált fundamentális rendszerről van szó, akkor az így előállt legdurvább uniform struktúra a család által definiált uniform struktúra.
A megszámlálható fundamentális rendszerrel megadott uniform terekből visszanyerhető a pszeudometrika.
Kritériumok környékbázisra
Ahhoz, hogy egy halmazrendszer környékbázis legyen, a következő feltételeknek kell eleget tennie:
- ; ekkor van , hogy
- Ha , akkor van hogy
- összemetszve a főátlót adja.
akkor és csak akkor környezetbázis, ha teljesíti ezeket a feltételeket. Ekkor a valamely elemét tartalmazó halmazok adják a bázisú uniform tér környékeit.
Kapcsolat más struktúrákkal
Bármely metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy valós szám, hogy minden , párra, ha , akkor benne van -ben.
Egy topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy halmaz pontosan akkor legyen környék, amennyiben létezik az egységelemnek egy környezete, hogy része -nek.
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy halmaz pontosan akkor legyen nyílt, ha bármely -hez létezik egy olyan környék, hogy (-nek -szel vett szelete, azaz ) része legyen -nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.
Topológia
Egy X halmazon megadott unitér struktúra topológiát is generál az X halmazon. Ebben egy 'F halmaz nyílt, ha F tartalmazza minden x pontjának egy V környékét. Az így kapott topologikus térből nem állítható vissza egyértelműen az uniform struktúra; más szóval, több uniform struktúra is adhatja ugyanazt a topologikus teret.
Az így nyert topologikus terek teljes reguláris terek, és megfordítva, minden teljes reguláris topologikus térhez van legalább egy uniform struktúra.
Egy X uniform tér akkor és csak akkor Kolmogorov-tér, ha az összes környék metszete a főátló. Ekkor X Tyihinov-tér, ezzel Hausdorff-tér is egyben.
Egyenletesen folytonos függvények
Az egyenletesen folytonos függvények épp azok a függvények, amik környéket környékbe visznek. Ekvivalensen, fedési struktúra ősképe fedési struktúra.
Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük.
Források
- Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. kiadás Springer-Verlag, 2001, ISBN 3-540-09799-6
- I. M. James: Introduction to Uniform Spaces. Cambridge University Press, 1990, ISBN 0521386209
- Halmazelméleti topológia jegyzet (1,72 MB)