Uniform tér

Matematikában, azon belül a topológia területén használatos fogalom az uniform tér, ami az egyenletes tulajdonságokat (teljesség, egyenletes konvergencia, egyenletesen folytonos) igyekszik megragadni. Egy uniform tér nem más, mint egy uniform struktúrával felruházott halmaz. Erősebb, mint egy topologikus tér (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabb, mint egy metrikus tér vagy egy topologikus csoport.

Definíció

Környékekkel

Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, $(X,\Phi )$, ahol $X$ a tér alaphalmaza, $\Phi \subseteq 2^{X\times X}$ pedig a környékek (franciául entourage) halmaza, a következő feltételekkel:

1. Minden $U\in \Phi$ tartalmazza az átlót: $\{(x,x):x\in U\}$
2. Ha $U\in \Phi$, és $U\subseteq V\subseteq X\times X$, akkor $V\in \Phi$
3. Ha $U,V\in \Phi$, akkor $U\cap V\in \Phi$
4. Ha $U\in \Phi$, akkor létezik egy $V$ eleme $\Phi$-nek, hogy valahányszor $(x,y)\in V$ és $(y,z)\in V$, akkor $(x,z)\in U$
5. Minden $U\in \Phi$-hez annak „tükörképe”, $\{(y,x):(y,x)\in U\}$ is eleme $\Phi$-nek.

Uniform fedéssel

Az $(X,\Theta )$ páros uniform tér, ha X alaphalmaz, és Θ fedések egy családja, amikre teljesülnek a következők:

1. {X} eleme Θ-nak.
2. Legyenek a P fedés Θ eleme, és legyen Q fedés, hogy minden A∈P-hez van U∈Q, hogy U tartalmaz minden P-beli B halmazt, ami nem diszjunkt A-tól. Ezt úgy nevezzük, hogy a P fedés a Q fedés finomítása. Ekkor Q∈Θ.
3. Ha a P és a Q fedés is eleme Θ-nak, akkor van közös finomításuk Θ-ban.

Θ elemei az uniform fedések, és Θ fedési struktúra.

Tekintve egy P uniform fedést, és egy x eleme X pontot, az x-et tartalmazó P-beli halmazok egyesítése x P méretű környezete. Ez a mérték az egész térre kiterjeszthető.

A két megadási mód könnyen átváltható egymásba. Legyen ugyanis az uniform tér környékekkel megadva. Ekkor egy P fedés uniform, ha minden x∈X-hez van U[x]⊆A környék, ahol A∈P. Az ilyen fedések az uniform tér fedési struktúráját adják.

Legyen most az uniform tér fedési struktúrával adva. Ekkor az ∪{A×A: A∈P}-ket tartalmazó halmazok az adott uniform tér szomszédságai, ahol P végigfut a tér uniform fedésein. Ez a két transzformáció egymás inverze.

Félmetrikával

Jelölje X az alaphalmazt, és legyen a $d\,:\;X\times X\to \mathbb {R} \;$ leképezés félmetrika:

1. $d(x,x)=0$
2. $d(x,y)=d(y,x)$ szimmetria
3. $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$ háromszög-egyenlőtlenség

Tekintsük most a következőkben megadott F rendszert:

$d^{-1}([0;a[)=\{(x,y)\in X\times X|d(x,y)<a\}$,

$F:=\{d^{-1}([0;a[)|a\in {\mathbb {R}}_{+}\}$

Ez a d félmetrika által definiált rendszer generálja a környékek halmazrendszerét. Környékek lesznek mindazok a részhalmazok, amik tartalmazzák a generátorhalmaz egy elemét. Ha félmetrikák egy családja által definiált fundamentális rendszerről van szó, akkor az így előállt legdurvább uniform struktúra a család által definiált uniform struktúra.

A megszámlálható fundamentális rendszerrel megadott uniform terekből visszanyerhető a pszeudometrika.

Kritériumok környékbázisra

Ahhoz, hogy egy ${\mathcal {B}}$ halmazrendszer környékbázis legyen, a következő feltételeknek kell eleget tennie:

1. $V_{1},V_{2}\in {\mathcal {B}}$; ekkor van $V_{3}\in {\mathcal {B}}$, hogy $V_{3}\subset V_{1}\cap V_{2}$
2. Ha $V\in {\mathcal {B}}$, akkor van $W\in {\mathcal {B}}$ hogy $2W\subset V$
3. ${\mathcal {B}}$ összemetszve a főátlót adja.

${\mathcal {B}}$ akkor és csak akkor környezetbázis, ha teljesíti ezeket a feltételeket. Ekkor a ${\mathcal {B}}$ valamely elemét tartalmazó halmazok adják a ${\mathcal {B}}$ bázisú uniform tér környékeit.

Kapcsolat más struktúrákkal

Bármely $(X,\Phi )$ metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy $V\subseteq X\times X$ pontosan akkor lesz környék, ha létezik egy $\varepsilon >0$ valós szám, hogy minden $x$, $y$ párra, ha $d(x,y)<\varepsilon$, akkor $(x,y)$ benne van $V$-ben.

Egy $G$ topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy $V$ halmaz pontosan akkor legyen környék, amennyiben létezik az egységelemnek egy $U$ környezete, hogy $\{(x,y):x\cdot y^{-1}\in U\}$ része $V$-nek.

Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy $G$ halmaz pontosan akkor legyen nyílt, ha bármely $x\in G$-hez létezik egy olyan $V$ környék, hogy $V[x]$ ($V$-nek $x$-szel vett szelete, azaz $\{y:(x,y)\in V\}$) része legyen $G$-nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.

Topológia

Egy X halmazon megadott unitér struktúra topológiát is generál az X halmazon. Ebben egy 'F halmaz nyílt, ha F tartalmazza minden x pontjának egy V környékét. Az így kapott topologikus térből nem állítható vissza egyértelműen az uniform struktúra; más szóval, több uniform struktúra is adhatja ugyanazt a topologikus teret.

Az így nyert topologikus terek teljes reguláris terek, és megfordítva, minden teljes reguláris topologikus térhez van legalább egy uniform struktúra.

Egy X uniform tér akkor és csak akkor Kolmogorov-tér, ha az összes környék metszete a főátló. Ekkor X Tyihinov-tér, ezzel Hausdorff-tér is egyben.

Egyenletesen folytonos függvények

Az egyenletesen folytonos függvények épp azok a függvények, amik környéket környékbe visznek. Ekvivalensen, fedési struktúra ősképe fedési struktúra.

Ahogy a folytonos függvények megtartják a topologikus tulajdonságokat (nyílt, zárt, kompakt, összefüggő), úgy az egyenletesen folytonos függvények megőrzik az uniform struktúrát. A két uniform struktúra közötti izomorfizmusokat uniform izomorfizmusoknak nevezzük.

Külső link

Modern alkalmazott analízis