„Absztrakt algebra” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a
kisebb formai javítások
a (Bot: következő módosítása: ml:അമൂർത്തബീജഗണിതം)
a (kisebb formai javítások)
{{Sablon:Matematika}}
 
Az '''absztrakt algebra''' a [[matematika]], és azon belül az [[algebra]] egyik ága, amely konkrét [[algebrai struktúra]]osztályokat illetve ezek közti viszonyokat vizsgál, így a [[csoport (matematika)|csoportokat]], [[gyűrű (matematika)|gyűrűket]], [[test (matematika)|testeket]], [[modulus (matematika)|modulusokat]], [[vektortér|vektortereket]]. Legtöbbször egyszerűen ''algebrának'' is nevezik.
== Alapvető fogalmak ==
=== Halmaz ===
{{bővebben|Halmaz}}
Az algebrában a műveleteket (lásd [[Absztrakt algebra #Műveletek|lentebb]]) bizonyos összességek elemei között végezzük. Ezek az összességek az absztrakt algebrában halmazok, azaz olyan matematikai objektumok, melyek tulajdonságait a [[halmazelmélet]] írja le. Mindazonáltal az algebra a halmazokkal konkrétan nem foglalkozik, csak az elemeik közötti műveletekkel. Például az alábbi halmazok olyanok, melyek elemei között jól ismert, nevezetes vagy jellegzetes műveletek értelmezhetők:
* [[Természetes szám]]ok (<math>\mathbb{N}</math>)
 
=== Műveletek ===
{{bővebben|Művelet}}
 
A '''[[matematikai művelet]]''' fogalmán általában a belső műveletet értjük. ''A'' halmazon végzett műveleten alatt olyan <math>\phi</math> leképezést értünk, hogy <math>\phi : A^n \rightarrow A </math>, azaz minden ''A'' halmazból képzett elem-n-eshez hozzárendüljük ''A'' egy elemét.
 
''Egyváltozós művelet''ről beszélünk, ha egy elemhez rendelünk egy másikat ''A'' halmazon belül. Ilyenre jó példa egy adott halmaz részhalmazainak halmazán a komplementer-művelet.
A legtöbbet használt ''kétváltozós művelet'' esetén a halmaz minden elempárjához rendelünk egy harmadik elemet. Példák:
* Szorzás az egész számok halmazán, <math>(\mathbb{Z},\cdot)</math>
Ellenpélda a skalárszorzás művelete 3-dimenziós vektorok halmazán, hiszen a végeredmény 1-dimenziós vektor, skalár.
 
Többváltozós műveleteket elég ritka esetben használunk, és akkor is kétváltozós műveletből definiáljuk.
 
A műveletet megkülönböztetjük más hasonló matematikai fogalmaktól, mint a [[topológia]], [[Függvény (matematika)|függvény]], [[reláció]].
131 512

szerkesztés

Navigációs menü