„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
FoBe (vitalap | szerkesztései) |
FoBe (vitalap | szerkesztései) |
||
18. sor: | 18. sor: | ||
== Megoldható ötödfokú egyenletek == |
== Megoldható ötödfokú egyenletek == |
||
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]], és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). |
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például <math>x^5 - x^4 - x + 1 = 0\,</math> felírható mint <math>(x^2 + 1) (x + 1) (x - 1)^2 = 0\,</math>. Más ötödfokú egyenlet mint például a <math>x^5 - x + 1 = 0\,</math> nem fejezhető ki ilyen alakban. [[Évariste Galois]] kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a [[Galois elmélet]] területét. Ezeket az eljárásokat először [[John Stuart Glashan]], [[George Paxton Young]], és [[Carl Runge]] alkalmazta [[1885]]-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). |
||
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] |
Azt találták, hogy bármely [[Irreducibilis polinom|irreducibilis]] ötödfokú polinom racionális együtthetókkal [[Erland Samuel Bring|Bring]]-[[George Jerrard|Jerrard]] formában, |
||
:<math>x^5 + ax + b = 0\,</math> |
:<math>x^5 + ax + b = 0\,</math> |
A lap 2010. június 5., 21:31-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok, vagy a komplex számok elemei, valamint
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel-Ruffini tétel, melyet először 1824-ben publikáltak mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre módszer, vagy a Jenkins-Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthetókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
ahol és racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
A kapcsolatot a 1885-i és a 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk
ahol
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
valamely racionális -ra.
Mivel a Tschirnhaus transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal..
Referenciák
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.