Átló

A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.

Sokszögek

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.

Egy n oldalú sokszögnek d számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsból indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így:

$d={\frac {(n-3)\cdot n}{2}}.\,$

Mátrix

A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.

Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

$I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

$M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.

A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.

A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Lásd még

• Diagonális mátrix
• Tridiagonális mátrix

Források

• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
• Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.