Riemann-integrálás

Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.

A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.

Alapintegrálok

Alapintegráloknak nevezzük a faszfeju matematikusok huje kitalacioit amivel farasztjak a diakokat .

$\int x^{n}\,dx$	$={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N} )$	$\int x^{\alpha }\,dx$	$={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ^{+},-1\neq \alpha \in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{x}}\,dx$	$=\,\ln |x|+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$	$\int e^{x}\,dx$	$=\,e^{x}+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int a^{x}\,dx$	$={\frac {a^{x}}{\ln a}}+c$	$(x\in \mathbb {R} ,1\neq a\in \mathbb {R} ^{+})$	$\int \sin x\,dx$	$=-\cos x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \cos x\,dx$	$=\sin x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\sin ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {ctg} \,x\,+c$	$(k\pi \neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )$
$\int {\frac {1}{\cos ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {tg} \,x\,+c$	$({\frac {k\pi }{2}}\neq x\in \mathbb {R} ,k\in \mathbb {Z} )$	$\int \mathrm {sh} \,x\,dx$	$=\mathrm {ch} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int \mathrm {ch} \,x\,dx$	$=\mathrm {sh} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}x}}\,dx$	$=-\mathrm {cth} \,x\,+c$	$(0\neq x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}x}}\,dx$	$=\mathrm {th} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{1+x^{2}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,tg} \,x\,+c$	$(x\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{1-x^{2}}}\,dx$	$={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {x+1}{x-1}}\right|+c$	$=\left\{{\mathrm {ar\,th} \,x+c\quad (1>|x|\in \mathbb {R} ) \atop \mathrm {ar\,cth} \,x+c\quad (1<|x|\in \mathbb {R} )}\right.$	$\int {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {arc\,sin} x\,+c$	$(1>|x|\in \mathbb {R} )$
$\int {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\,dx$	$=\mathrm {ar\,sh} \,x+c$	$(x\in \mathbb {R} )$	$\int {\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\,dx$	$=\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+c$	$=\left\{\;{\mathrm {ar\,ch} \,x+c\quad \quad (1<x\in \mathbb {R} ) \atop \!-\mathrm {ar\,ch} (-x)+c\quad (1>x\in \mathbb {R} )}\right.$

Általános integrálási szabályok

Tagonkénti integrálás

A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:

Additivitás

Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).

$\int (f(x)\pm g(x))\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$

Homogenitás

Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.

$\int c\,f(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.

Parciális integrálás

A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén

$\int f(x)\,g'(x)\,dx=f(x)\,g(x)-\int f'(x)\,g(x)\,dx$

Parciálisan integrálhatók például a sinⁿ x, cosⁿ x, e^xsinⁿ x és e^xcosⁿ x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:

• $P(x)\,e^{x}\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=e^{x}$  választással;

• $P(x)\ln x\qquad f(x)=\ln x,\ g'(x)=P(x)$  választással;

• $P(x)\sin x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\sin x$  választással;

• $P(x)\cos x\qquad f(x)=P(x),\ g'(x)=\cos x$  választással;

• $P(x)\,\mathrm {arc\,sin} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,sin} \;x,\ g'(x)=P(x)$  választással;

• $P(x)\,\mathrm {arc\,tg} \;x\qquad f(x)=\mathrm {arc\,tg} \;x,\ g'(x)=P(x)$  választással.

Helyettesítéses integrálás

A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=F(g(x))+C$

Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:

$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\left.\int f(t)\,dt\,\right|_{t=g(x)}=F(t){\Big |}_{t=g(x)}+C=F(g(x))+C$

Nevezetes alesetek:

$\int f(ax+b)\,dx$	$={\frac {F(ax+b)}{a}}+C$
(a lineáris belső függvény esete)
$\int [g(x)]^{\alpha }\,g'(x)\,dx$	$\ ={\frac {[g(x)]^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C$	$(\alpha \neq -1)$	$\int {\frac {g'(x)}{g(x)}}\,dx$	$\ =\ln |g(x)|+C$
Az utolsó példa konkrét alkalmazásaiként kapjuk, hogy
$\int \mathrm {tg} \;x\,dx$	$=-\int {\frac {\cos '(x)}{\cos(x)}}\,dx$	$\ =-\ln |\cos x|+C$
illetve
$\int \mathrm {ctg} \;x\,dx$	$=\int {\frac {\sin '(x)}{\sin(x)}}\,dx$	$=\ \ln |\sin x|+C$

Speciális integrálási módszerek

Racionális törtfüggvények integrálása

Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló $\,R(x)$ racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:

1. A valós együtthatós racionális $\,R(x)$ törtfüggvényt maradékos osztással az $R(x)=r(x)+{\frac {P(x)}{Q(x)}}$ alakra hozzuk, ahol a $\,P(x)$ polinom fokszáma már kisebb, mint a $\,Q(x)$ polinom fokszáma.
2. A $\,Q(x)$ nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:
   
   $Q(x)=a_{0}(x-a_{1})^{k_{1}}\cdots (x-a_{n})^{k_{n}}(x^{2}-b_{1}x-c_{1})^{l_{1}}\cdots (x^{2}-b_{m}x-c_{m})^{l_{m}}$
3. A ${\frac {P(x)}{Q(x)}}$ törtet a $\,Q(x)$ faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel: ${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {A_{11}}{x-a_{1}}}+{\frac {A_{12}}{(x-a_{1})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{1k_{1}}}{(x-a_{1})^{k_{1}}}}+\cdots$ $\cdots +{\frac {A_{n1}}{x-a_{n}}}+{\frac {A_{n2}}{(x-a_{n})^{2}}}+\cdots +{\frac {A_{nk_{n}}}{(x-a_{n})^{k_{n}}}}+$               $+{\frac {B_{11}x+C_{11}}{x^{2}+b_{1}x+c_{1}}}+\cdots +{\frac {B_{1l_{1}}x+C_{1l_{1}}}{(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{l_{1}}}}+\cdots$   $\cdots +{\frac {B_{m1}x+C_{m1}}{x^{2}+b_{m}x+c_{m}}}+\cdots +{\frac {B_{ml_{m}}x+C_{ml_{m}}}{(x^{2}+b_{m}x+c_{m})^{l_{m}}}}$ A parciális törtek $\,A_{ij},B_{ij},C_{ij}$ együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
4. A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
   • $\int {\frac {A}{x-a}}\,dx=A\ln |x-a|$
   • $\int {\frac {A}{(x-a)^{k}}}\,dx={\frac {A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}}\quad (1<k\in \mathbb {N} )$
   • $\int {\frac {Bx+C}{x^{2}+bx+c}}\,dx={\frac {B}{2}}\ln |x^{2}+bx+c|+{\frac {C-{\frac {Bb}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}\,\arctan {\frac {x+{\frac {b}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}$
   • $\int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}\,dx={\frac {B}{2}}{\frac {(x^{2}+bx+c)^{1-l}}{1-l}}+(C-{\frac {Bb}{2}})\int {\frac {1}{(x^{2}+bx+c)^{l}}}$

     Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál $I_{l}=\int {\frac {1}{(t^{2}+1)^{l}}}$ alakúra hozható, amelyet a következő rekurziós formula segítségével számíthatunk ki:

     $I_{l}={\frac {1}{2l-2}}{\frac {t}{(t^{2}+1)^{l-1}}}+{\frac {2l-3}{2l-2}}I_{l-1}$

Trigonometrikus függvények integrálása

Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sin x,\cos x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tan {\frac {x}{2}}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sin x={\frac {2t}{1+t^{2}}}$; $\cos x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ és $dx={\frac {2}{1+t^{2}}}\,dt$ adódik.

Exponenciális függvények integrálása

Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(e^{x})$ racionális kifejezések integrálása a $\,t=e^{x}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $dx={\frac {1}{t}}\,dt$ adódik.

Hiperbolikus függvények integrálása

Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett $\,R(\sinh x,\cosh x)$ racionális kifejezések integrálása a $t=\tanh {\frac {x}{2}}$ helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.

A helyettesítésből $\sinh x={\frac {2t}{1-t^{2}}}$; $\cosh x={\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}$ és $dx={\frac {2}{1-t^{2}}}\,dt$ adódik.

Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.

Irracionális függvények integrálása

A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:

• $R(x,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása ${\frac {x}{a}}=\sin t$ helyettesítéssel;

• $R(x,{\sqrt {a^{2}+x^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása ${\frac {x}{a}}=\sinh t$ helyettesítéssel;

• $R(x,{\sqrt {x^{2}-a^{2}}})$ alakú kifejezés integrálása $x\geq 0$ esetén ${\frac {x}{a}}=\cosh t$, illetve $x\leq 0$ esetén ${\frac {x}{a}}=-\cosh t$ helyettesítéssel;

• $R(x^{\frac {p_{1}}{q_{1}}},\dots ,x^{\frac {p_{n}}{q_{n}}})$ alakú kifejezés integrálása $\,x=t^{q}$ helyettesítéssel, ahol $\,q$ a kitevők $q_{1},\dots ,q_{n}$ nevezőinek legkisebb közös többszöröse.

Az Euler-féle helyettesítések

$R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})$ alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:

• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t\pm x{\sqrt {a}}\qquad (a>0)$;

• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=tx\pm x{\sqrt {c}}\qquad (c>0)$;

• ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=t(x-x_{0}),$ ahol $\,x_{0}$ az $\,ax^{2}+bx+c$ polinom valós gyöke.

A határozott integrál alkalmazásai

Területszámítás

Görbe alatti terület

Az $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$ határozott integrál geometriai jelentése: az $x=a$, $x=b$, $y=0$ egyenesek és az $y=f(x)$ függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x-tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az $f(x)$ és $g(x)$ függvénygörbék, valamint az $x=a$ és $x=b$ egyenesek által határolt síkidom területe:

$\left|\int _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\right|$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:

$\int _{a}^{b}x'(t)y(t)\,dt$

Szektorterület

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt$

Az $r=r(\varphi )$, $\varphi \in [\alpha ,\beta ]$ polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:

${\frac {1}{2}}\int _{\alpha }^{\beta }r^{2}(\varphi )\,d\varphi$

Ívhosszszámítás

Ha az $f(x)$ függvény az $[a,b]$ intervallumon differenciálható, és $f'(x)$ ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dt$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

Az $r=r(\varphi )$, $\varphi \in [\alpha ,\beta ]$ polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:

$\int _{\alpha }^{\beta }{\sqrt {[r(\varphi )]^{2}+[r'(\varphi )]^{2}}}\,d\varphi$

Térfogatszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f(x)$ függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely $[a,b]$ szakaszára eső térfogata:

$\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:

$\pi \int _{a}^{b}y^{2}(t)\,x'(t)\,dt$

Felszínszámítás

Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos $f(x)$ függvény írja le, akkor a tengely $[a,b]$ szakasza körüli palást felszíne:

$2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx$

Az $x=x(t)$, $y=y(t)$, $t\in [a,b]$ paraméteres alakban megadott folytonos ív x-tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:

$2\pi \int _{a}^{b}y(t){\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt$

Súlypontszámítás

Az $f(x)$ függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:

$x_{s}={\frac {\int _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}$

Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:

$x_{s}={\frac {\int _{a}^{b}xf(x)\,dx}{\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}{2\int _{a}^{b}f(x)\,dx}}$

Az ívet az x-tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:

$x_{s}={\frac {\int _{a}^{b}xf^{2}(x)\,dx}{\int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}}$