„Peano-aritmetika” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2009. október 10., 13:15-kori változata

A Peano-aritmetika a természetes számok egy elsőrendű (axiomatikus) elmélete, melyet Giuseppe Peano olasz matematikus 1889-ben vezetett be. jel: PA

A Peano-aritmetika nyelve a következő nem logikai jeleket tartalmazza:

Ezen a nyelven felírt elsőrendű formulákat nevezzük Peano-fomuláknak.

A nulla semminek sem a rákövetkezője. $\forall x\quad S(x)\neq 0$
Ha két természetes szám rákövetkezője megegyezik, akkor a két szám is megegyezik: $\forall x\,\forall y\quad (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)$
Minden nem nulla természetes szám valamelyik másik természetes szám rákövetkezője: $\forall x(x\neq 0\Rightarrow \exists yS(y)=x)$
A nulla hozzádása nem változtat a természetes számokon: $\forall x\quad x+0=x$
Ha egy természetes számoz hozzáadjuk egy másik természetes szám rákövetkezőjét, akkor a két szám összegének a rákövetkezőjét kapjuk: $\forall x\,\forall y\quad x+S(y)=S(x+y)$
Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk: $\forall x\quad x\cdot 0=0$
Teteszőleges $x\,$ természetes számot egy másik $y\,$ természetes szám rákövetkezőjéval szorozva $x\cdot y+x$ -et kapunk: $\forall x\,\forall y\quad x\cdot S(y)=x\cdot y+x$
(A teljes indukció axióma sémája) Tetszőleges $\varphi$ Peano-formulára, ha $\varphi$ igaz $0\,$ -ra és ha igaz $y\,$ -ra, akkor igaz $S(y)\,$ -ra is, akkor $\varphi$ igaz minden természetes számra: $\varphi _{x}[0]\land \forall y(\varphi _{x}[y]\Rightarrow \varphi _{x}[S(y)])\Rightarrow \forall x\varphi (x)$

@@ 23. sor: / 23. sor: @@
 # Tetszőleges természetes számot nullával szorozva nullát kapunk: <center><math>\forall x \quad x\cdot 0=0</math>  </center>
 # Teteszőleges <math>x\,</math> természetes számot egy másik <math>y\,</math>természetes szám rákövetkezőjéval szorozva <math>x\cdot y+x</math>-et kapunk:<center><math>\forall x\, \forall y \quad x\cdot S(y)=x\cdot y+x</math>  </center>
-# (A [[teljes indukció]] axióma sémája) Tetszőleges <math>\varphi</math> Peano-formulára, ha <math>\varphi</math> igaz <math>0\,</math>-ra és ha igaz  <math>y\,</math>-ra, akkor igaz <math>S(y)\,</math>-ra is, akkor <math>\varphi</math>  igaz minden természetes számra:<center><math>\varphi_x[0]\land\forall y (\varphi_x[y]\Rightarrow \varphi_x[S(x)])\Rightarrow \forall x \varphi(x)</math> </center>
+# (A [[teljes indukció]] axióma sémája) Tetszőleges <math>\varphi</math> Peano-formulára, ha <math>\varphi</math> igaz <math>0\,</math>-ra és ha igaz  <math>y\,</math>-ra, akkor igaz <math>S(y)\,</math>-ra is, akkor <math>\varphi</math>  igaz minden természetes számra:<center><math>\varphi_x[0]\land\forall y (\varphi_x[y]\Rightarrow \varphi_x[S(y)])\Rightarrow \forall x \varphi(x)</math> </center>
 [[Kategória:Matematika]]