„Matematikai struktúra” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a
Bot: következő hozzáadása: br:Framm (jedoniezh); kozmetikai változtatások
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
aNincs szerkesztési összefoglaló
a (Bot: következő hozzáadása: br:Framm (jedoniezh); kozmetikai változtatások)
A '''matematikai struktúra''' fogalma a modern huszadik századi [[matematika]] egyik legfontosabb fogalma a [[halmaz]] fogalma mellett, és teljesen átalakította a matematikát. Maga a struktúra is [[halmazelmélet]]i fogalom, lényegében egy [[halmazrendszer]]t jelent: bármilyen objektumok olyan halmazát vagy halmazait, mely(ek)ből más halmazokat, halmazrendszereket – [[topológia|topológiát]], [[reláció]]kat, [[művelet]]eket, [[függvény (matematika)|függvényfüggvényeket]]eket – lehet konstruálni.
 
A struktúrafogalom alapjául szolgáló [[halmazelmélet]]et a 19. század 70-es éveiben fedezték fel, ahogyan az első struktúratípusokat is ez időszakban kezdték vizsgálni (például a [[csoport (matematika)|csoportok]] elméletének alapjait az 1830-as években rakta le [[Évariste Galois|Galois]], és halála miatt [[1846]]-ban publikálta [[Joseph Liouville]]); a struktúrafogalom felfedezésének és fontossága felismerésének (a strukturalista irányzat megalapításának) évét pedig az [[1935]]-re, a francia [[Bourbaki-csoport]] megalakulásának időszakára tehetjük. A Bourbaki-csoport strukturalistái rájöttek, hogy a matematika minden tudományága és minden elmélete szinte kivétel nélkül felfogható, mint egy speciális struktúra vagy egy struktúratípus vizsgálata (a legkomolyabb, de nem súlyos kivétel a [[kombinatorika]]). A matematika ilyen felfogását nevezzük ([[matematikadidaktika]]i) '''''strukturalizmus'''''nak.
 
Lényegében kimondhatjuk, a struktúrafogalom alkalmazásával e matematikuscsoportnak sikerült elérnie legfőbb, kitűzött célját, a modern matematikának az ókori [[Eukleidész]]hez hasonlóan precíz és egységes megalapozást adni; bár konkrét struktúratípusokat már ezt megelőzően is ismertek; az egész matematika egységesítése azonban lassú, és csak a huszadik században betetőződő folyamat volt.
 
Mára egyébként, különféle okok miatt a strukturalizmus, különösen az elemi matematikaoktatásban, visszaszorulóban van, de bizonyosra vehető, hogy még jó ideig ez lesz az a keret, amelyben a matematikai elméletek megfogalmazódnak. Nemcsak a matematikusok kezdenek vizsgálni jelenleg is újabb és újabb struktúratípusokat; hanem ezeket, lévén nem pusztán a valóságtól elrugaszkodott absztrakciók, a matematikán kívül a [[fizika|fizikában]] és egyéb alkalmazott tudományágakban is felhasználják.
 
== Definíció ==
=== Áttekintés ===
Ha egy halmaz elemeivel végezhetünk valamilyen műveletet, műveleteket akkor ezt a halmazt '''strukturáltnak''' mondjuk (azaz van egyfajta matematikai szerkezete). Ha több halmaz műveletei azonos tulajdonságúak, akkor azt mondjuk, hogy ezen halmazok '''struktúrája azonos''' az adott műveletekre nézve. Több azonos, konkrét struktúra általánosítása az ''absztrakt'' matematikai struktúra (típus). Egy példa egyszerű struktúrára: a kapcsolók, a csapok, a tranzisztorok, a halmazok, a (logikai) állítások műveletei azonos szerkezetűek. E halmazoknak az elemeik különböznek, de struktúrájuk egyezik. V.ö.: [[halmazműveletek]], [[logikai műveletek]], [[Boole-algebra]].
<center> <math> = </math> <math> \left( \ U , \ \left( \mathcal{T} _{i} \right) _{i \in I} , \ \left( \rho _{k} \right) _{k \in K} , \ \left( \mathcal{ \mu} _{m} \right) _{m \in M } , \ \left( u _{p} \right) _{p \in P} \ \right) </math> </center>
ötelemű [[halmazrendszer]]t (klasszikus értelemben vett) '''''matematikai struktúrá'''''nak nevezünk az <math> U </math> [[halmaz]] (a struktúra '''univerzum'''a) felett, ha első tagja maga <math> U </math>, a második e halmaz feletti [[halmazrendszer]]ek egy [[elemrendszer|rendszere]], a harmadik tag <math> U </math> feletti <math> \rho </math> [[reláció]]k-, a negyedik
<math> U </math> feletti <math> \mu </math> [[függvény (matematika)|függvényfüggvények]]ek rendszere, végül az ötödik tag pedig egyszerűen <math> U </math> egy [[Halmaz#Részhalmaz|részhalmazrészhalmaza]]a, vagy (bonyolultabban felfogva) egy <math> U </math> feletti [[elemrendszer]] .
 
==== A definíció részletesebben ====
** vagy pedig, ha például egyetlen halmazrendszerből, az <math> U </math> egy [[osztályfelbontás]]ából áll, akkor a struktúra „többfajtájúságát” biztosítja, amit a [[matematikai logika|matematikai logikában]] vagy a [[geometria]] „illeszkedési struktúráinak” definíciójakor lehet hasznosítani;
 
* <math> \mathcal{R} = \left( \rho _{k} \right) _{k \in K} \in \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \mathcal{P} \left( U^{n} \right) \right) ^{K} </math> a struktúra „relációs része”; az univerzum fölött értelmezett valahány (véges) változós [[reláció]]k (vagy predikátumok halmaza); tehát minden <math> \rho \in \mathcal{R} </math> elemhez léteznie kell olyan <math> n _{ \rho} \in \mathbb{N} </math> számnak, hogy <math> \rho \subseteq U^{n} </math>; e szám a reláció '''''aritás'''''a, változói száma (a reláció nulláris, unáris, bináris, ternáris stb. azaz null-, egy-, két-, három- stb. -változós, ha rendre n=0, n=1, n=2, n=3,\dots ;
** Meg kell jegyeznünk, hogy „alapból” minden struktúrába beleértjük az univerzumon értelmezett egyenlőségi relációt ([[egységreláció]]t). Annyira, hogy nem is szoktuk belevenni a definícióba. Ez fölösleges is, mivel az univerzum megadásával egyértelműen megadtuk a rajta értelmezett egyenlőségi relációt, ez tehát nem megkülönböztető komponens.
 
* <math> \mathcal{M} = \left( \mu _{m} \right) _{m \in M} \in \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( U^{n} \right) ^{U} \right) ^{M} </math>, a struktúra „algebrai része” nem más, mint <math> \mathcal{U} </math> feletti valahány változós [[művelet]]ek (tehát [[függvény (matematika)|függvényfüggvények]]ek) egy halmaza, azaz <math> M </math> minden eleme egy <math> f : U^{n} \mapsto U </math> művelet; ahol az <math> n _{f} \in \mathbb{N} </math> szám a függvény vagy művelet '''''aritás'''''a; azaz változóinak száma; az utóbbiakkal kapcsolatos terminológia a relációkához hasonló;
** A relációk és függvények közti különbség nem lényeges, minden n-változós függvény tkp. egy n+1-változós reláció; u. is ha <math> f: X_{1} \times X_{2} \times \dots \times X_{n} \mapsto X; \left( x_{1}, x_{2} , \dots , x_{n} \right) = x </math> tetszőleges n-áris függvény, akkor ehhez egyértelműen definiálható egy n+1-változós <math> \rho _{f} := \subseteq X_{1} \times X_{2} \times \dots \times X_{n} \times X </math> reláció a következőképp: <math> \forall x_{i} \in X_{i} , \ \forall x \in X : \rho _{f} \left( x_{1}, x_{2} , \dots , x_{n} , x \right) : \Leftrightarrow f \left( x_{1}, x_{2} , \dots , x_{n} \right) = x </math>. Az ilyen függvény-reláció párokat egymás '''''asszociált'''''jainak nevezzük. Mellesleg ez nem nagy újdonság: a függvényfogalom definíció szerint a relációfogalom egy speciális esete (inkább csak a jelölés, a felfogás, a hangsúly különbözik).
 
A [[#A klasszikus változat|fenti]] változattól két dologban tér el:
# A <math> \mathcal{T} </math> halmazrendszer egytagú, és [[osztályfelbontás]]a az <math> U </math> univerzumnak (ennyiben tehát a fenti fogalom egy specializációjáról lenne szó)
# Emellett azonban az <math> \mathcal{R} </math> halmaz nem halmazelméleti, hanem logikai relációkat, azaz ''predikátum''okat tartalmaz. Ezek tkp. speciális, egy kételemű halmazba képező függvények.
 
Azaz egy <math> \Xi := \left( \mathcal{U} , \ \mathcal{T} , \ \mathcal{R} , \ \mathcal{M} , \ \mathcal{C} \ \right) </math> ötelemű [[halmazrendszer]]t '''''többfajtájú (matematikai v. matematikai logikai) struktúrá'''''nak nevezünk, ahol:
 
* <math> \mathcal{U} </math> (mint eddig) tetszőleges [[halmaz]], az '''''univerzum'''''); egyéb korlátozásokat nem teszünk rá;
 
[[en:Mathematical structure]]
[[br:Framm (jedoniezh)]]
[[de:Hierarchie mathematischer Strukturen]]
[[fr:Structure (mathématiques)]]
158 310

szerkesztés

Navigációs menü