„Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
a
Bot: következő hozzáadása: nl:Von Neumann–Bernays–Gödel-verzamelingenleer; kozmetikai változtatások
a (Bot: következő hozzáadása: nl:Von Neumann–Bernays–Gödel-verzamelingenleer; kozmetikai változtatások)
A '''Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet''' (kódja '''NBG''') a [[matematika]] egy nagy jelentősségű formális-axiomatikus rendszere, mely a [[halmazelmélet]]et kívánja egy, a [[Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet]]hez hasonló módon formalizálni. A leglényegesebb különbség az '''NBG''' és a '''ZFC''' (a Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer kibővítve a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómával]]) között, hogy az '''NBG'''-ben közvetlenül hivatkozhatunk a [[osztály (halmazelmélet)|valódi osztályokra]], míg a '''ZFC'''-ben csak némi "ügyeskedéssel" tehetjük ezt. Az '''NBG''' azáltal, hogy nagyobb rálátást biztosít a halmazokra, a matematika tágabb területein alkalmazható hatékonyan, mint például a [[kategória (matematika)|kategóriaelmélet]] vagy a halmezelmélet egészét vizsgáló [[modellelmélet]]. Mindazonáltal ez az előny csak látszólagos (nyelvi eredetű) tekintve, hogy a két elmélet ekvikonzisztens ('''NBG''' a '''ZFC''' konzervatív bővítése).
 
== Az elmélet kifejtése ==
 
Az elmélet nyelvében két logikai relációjel szerepel, az egyenlőség szimbóluma ( = ) és az eleme szombólum ( ∈ ). Az egyenlőség tulajdonságait a [[predikátumkalkulus]] szokásos logikai szabályai rögzítik, az eleme jel tulajdonságait a matematikai axiómákban fogalmazzák meg. A változók szándékolt módon [[osztály (halmazelmélet)|osztályokat]] jelölnek, tehát a halmaz fogalmát ebben az elméletben definiálni lehet.
 
Azt mondjuk, hogy az ''x'' osztály ''halmaz'', ha tétel az alábbi Set(x)-szel jelölt formula:
:(∃y∃y)(x ∈ y)
Tehát ha van legalább egy olyan ''y'' osztály, melynek ''x'' eleme. Ellenkező esetben (tehát ha a ¬(∃y)(x ∈ y) formula tétel) az x osztály ''valódi osztály''.
 
:'''A<small>Z [[Extenzionalitási axióma|EXTENZIONALITÁS AXIÓMÁJA]]</small>''' – Ha két osztálynak azonosak az elemei, akkor a két osztály egyenlő, azaz ha ''x'' és ''y'' osztály, akkor
: (&#8704;z∀z)(z &isin; x &#8660; z &isin; y) &#8658; (x = y)
(Az "extenzionalitás" kifejezés arra utal, hogy minden osztályra úgy gondolunk, ahogy a logikában a predikátumok extenziójára, igazságtartományára. Két osztály így tehát akkor egyenlő, ha ekvivalens predikátumok igazságtartományaiként fogható fel. Az axiómát gyakran még meghatározottsági axiómának is hívják, mert eszerint az osztályokat semmi más, csak elemei határozzák meg.)
 
:'''A<small> KORLÁTOZOTT KOMPREHENZIVITÁS AXIÓMÁJA</small>''' – Ha P(x) az elmélet olyan formulája, mely szabadon tartalmazza x-et és a benne szereplő kvantorok csak halmazokra korlátozódnak, akkor létezik olyan osztály, mely pontosan azokat a ''halmaz''okat tartalmazza, melyekre P(x) igaz, azaz
: (&exist;y∃y)(&forall;x∀x)( x &isin; y &#8660; (Set(x) &#8743; P(x)) )
 
Az extenzionalitás axiómája alapján belátható, hogy ha az ilyen tulajdonságú osztály létezik, akkor az egyértelmű. A P(x) tulajdonságú ''halmaz''ok ''osztály''át a következőképpen jelöljük:
Ebből az axiómából két, kardinális jelentősségű osztály létezése következik. Az első a ''Russell-összesség'', azaz a
:<math>\mathbf{Ru}:=\{x\mid x\notin x\}</math>
osztály, mely az alábbiak szerint valódi osztály. Tegyük fel, hogy '''Ru''' halmaz. Ekkor a komprehenzivitás axiómája szerint minden ''x''-re: ''x'' ∈ '''Ru''' ⇔ (Set(x) ∧ ¬(x ∈ x)). Ha most ''x'' helyére '''Ru'''-t helyettesítünk, akkor azt kapjuk, hogy '''Ru''' ∈ '''Ru''' ⇔ (Set('''Ru''') ∧ ¬( '''Ru''' ∈ '''Ru''')), amely csak úgy lehet, ha Set('''Ru''') nem teljesül, hiszen ellenkező esetben ellentmondásra jutunk. De azt tettük fel, hogy '''Ru''' halmaz, ami szintén ellentmondás, tehát '''Ru''' nem halmaz, hanem valódi osztály.
 
A második fontos osztály az
 
:'''R<small>ÉSZHALMAZ AXIÓMA</small>''' – Minden halmaz részosztálya is halmaz.
:'''P<small>ÁRAXIÓMA</small>''' – Ha ''a'' és ''b'' halmaz, akkor az {a,b} := { x | x=a &#8744; x=b } osztály halmaz.
:'''H<small>ATVÁNYHALMAZ AXIÓMA</small>''' – Ha ''H'' halmaz, akkor a ''P''(H) := { x | x &#8838; H } hatványosztály is halmaz.
:'''E<small>GYESÍTÉSI AXIÓMA</small>''' – Ha ''H'' halmaz, akkor az &cup;H∪H := { x | (&exist;y∃y)( y &isin; H &#8743; x &isin; y ) } unióosztály halmaz.
 
Definiálható halmazok ''[[rendezett pár]]''jának fogalma ( {{a},{a,b}} ), ''osztályok Descartes-szorzata'' ( A &times;× B := { (x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B } ) és az osztályok között ható funktor fogalma. A ''funktor'' olyan osztály, mely az A és B osztályok Descartes-szorzatának olyan F részosztálya, amely egyrészt a második változójában egyértelmű, azaz ha (x,y<sub>1</sub>) ∈ F és (x,y<sub>2</sub>) ∈ F, akkor y<sub>1</sub> = y<sub>2</sub> és másrészt a párok első tagjaként az összes A-beli elem részt vesz. Azt, hogy F egy A-ból B-be menő funktor úgy jelöljük, hogy F: A <math>\rightarrow</math> B. Ha egy funktor halmaz, akkor ''függvény''nek nevezik. Egy F: A <math>\rightarrow</math> B funktor értékkészlete azon elemekből áll, melyeket az a B osztályból elér, azaz F(A) := { F(x) | x ∈ A }. Ha I és A nem üres osztály, akkor egy I''-vel indexelt osztályrendszer'' olyan (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> funktor, mely I elemeihez A elemeit rendeli. Ha I halmaz, akkor az (A<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> rendszer &times;×<sub>i∈I</sub>A<sub>i</sub> ''Descartes-szorzat''a mindazon f: I <math>\rightarrow</math> ∪A ''kiválasztó függvény''ek összessége, melyek olyanok, hogy minden i∈I-re f(i) ∈ A<sub>i</sub>. Ezeken kívül definiálni kell a [[természetes szám]]ok halmazelméleti modelljeit a [[Rendszám (halmazelmélet)|rendszámrendszámokon]]okon keresztül és ezesetben megfogalmazhatók a további axiómák:
 
:'''V<small>ÉGTELENSÉGI AXIÓMA</small>''' – Az összes <nowiki>&#216;Ø , {&#216;Ø} , {&#216;Ø,{&#216;Ø}}, {&#216;Ø,{&#216;Ø},{&#216;Ø,{&#216;Ø}}}, … H &cup; {H}, …</nowiki> alakú "természetes szám" halmazok osztálya halmazt alkot.
:[[Kiválasztási axióma|'''K<small>IVÁLASZTÁSI AXIÓMA</small>''']] – Nemüres halmazok nemüres halmazrendszerének Descartes-szorzata nem üres.
:'''A<small> PÓTLÁS AXIÓMÁJA</small>''' – Ha F: A <math>\rightarrow</math> B funktor és A halmaz, akkor F(A) is halmaz.
[[de:Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre]]
[[fr:Théorie des ensembles de von Neumann–Bernays–Gödel]]
[[nl:Von Neumann–Bernays–Gödel-verzamelingenleer]]
[[zh:冯诺伊曼-博内斯-哥德尔集合论]]
157 878

szerkesztés

Navigációs menü