Operátornorma

A matematikában az operátornormát lineáris operátorok mérésére használják. Formálisan két normált vektortér közötti korlátos lineáris leképezések halmazán definiálják.

Bevezetés és definíció

Adott két normált vektortér V és W (ugyanazon test felett, amely vagy a valós számok R vagy a komplex számok C halmaza). Egy A : V → W lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos, ha létezik egy c valós szám, amelyre:

$\|Av\|\leq c\|v\|\quad \forall v\in V$

(a baloldali norma a W, a jobboldali norma a V vektortérben értendő).

Szemléletesen szólva a folytonos operátor egy vektort sem nyújt meg a c konstansnál nagyobb mértékben. Ezért korlátos halmaz folytonos képe szintén korlátos. Ezért is nevezik a folytonos lineáris operátorokat korlátos operátoroknak is. Ekkor az A operátor méréséhez adódik, hogy legyen a legkisebb olyan c, amelyre fennáll a fenti egyenlőtlenség minden V beli v vektorra. Más szóval úgy mérjük az operátort, hogy legfeljebb mennyivel nyújt meg egy vektort a legrosszabb esetben. Tehát az operátornorma definíciója a következő:

$\|A\|_{op}=\min\{c|\forall v\in V:\|Av\|\leq c\|v\|\}$

A minimum létezik, mert az összes ilyen c halmaza zárt, nem üres és alúlról korlátos.

Példák

Minden valós m x n mátrix definiál egy lineáris leképezést Rⁿ-ről R^m-re. Ezeken a vektortereken számos normát lehet értelmezni. Minden ilyen norma indukál egy-egy operátornormát az m x n mátrixok terén.

Speciálisan, az euklideszi norma az Rⁿ és R^m tereken olyan operátornormát generál, amely minden A mátrixhoz az A^*A mátrix legnagyobb sajátértékének a négyzetgyökét rendeli. (Ahol A^* az A mátrix adjungáltját, azaz a transzponált konjugáltját jelöli.). Ez az érték ekvivalens az A mátrix legnagyobb szinguláris értékével.

Végtelen dimenziós esetre példa az $l^{2}$ sorozattér:

$l^{2}=\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \}.$

Ez tekinthető az Cⁿ euklideszi tér végtelen dimenziós megfelelőjének is. Minden korlátos s = (s_n ) sorozat eleme az $l^{\infty }$ térnek az alábbi normával:

$\|s\|_{\infty }=\sup _{n}|s_{n}|.$

Legyen T_s egyszerű szorzás:

$(a_{n}){\stackrel {T_{s}}{\longrightarrow }}(s_{n}\cdot a_{n}).$

ekkor a T _s korlátos a következő operátornormával:

$\|T_{s}\|_{op}=\|s\|_{\infty }.$

Ez a példa tovább általánosítható az l ² tér helyett általános L^p teret használva p > 1 esetben illetve l^∞ helyett az L^∞ normált térben.

Ekvivalens definíciók

Megmutatható, hogy az alábbi definíciók ekvivalensek:

$\|A\|_{op}=\inf\{c:\|Av\|\leq c\|v\|\forall v\in V\}$

$=\sup\{\|Av\|:v\in V,\|v\|\leq 1\}$

$=\sup\{\|Av\|:v\in V,\|v\|=1\}$

$=\sup \left\{{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}:v\in V,v\neq 0\right\}.$

Tulajdonságok

Az operátornorma tényleg norma a V és W között értelmezett korlátos operátorok terén:

1. $\|A\|_{op}\geq 0$
2. $\|A\|_{op}=0\Leftrightarrow A=0$
3. $\|aA\|_{op}=|a|\|A\|_{op}\quad \forall a\in \mathbb {K} ,$ ahol $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$
4. $\|A+B\|_{op}\leq \|A\|_{op}+\|B\|_{op}$ (háromszögegyenlőtlenség)

Az alábbi egyenlőtlenség a definíció közvetlen következménye:

$\|Av\|\leq \|A\|_{op}\|v\|\quad \forall v\in V.$

Az operátornorma kompatibilis a kompozíció és a szorzás műveletekre: ha V, W és X három azonos test feletti normált vektortér és A : V → W, B: W → X két korlátos operátor, akkor

$\|BA\|_{op}\leq \|B\|_{op}\|A\|_{op}.$

A definícióból következik, hogy ha operátorok sorozata konvergens az operátornormában, akkor egyenletesen is konvergál korlátos halmazokon.