„Normált tér” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Pongesz (vitalap | szerkesztései)
Pongesz (vitalap | szerkesztései)
10. sor: 10. sor:


== Példák ==
== Példák ==
Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha <math>x\in\mathbb{{K}}^n</math>, akkor ennek euklideszi normája:

<math>||x||_E=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}</math>

Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:

<math>||x||_{\max}=\max\{|x_1|,|x_2|,\ldots,|x_n|\}</math>

<math>||x||_{p}=\sqrt[p]{|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p}</math>

Ha adott két normált tér, akkor egy köztük menő lineáris [[operátor]] normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis <math>(X,||\cdot||_X),\ (Y,||\cdot||_Y)</math> két normált tér, <math>A:X\to Y</math> egy lineáris operátor. Ennek [[operátornorma|(operátor)normája]]:

<math>||A||=\sup\{||Ax||_Y :||x||_X\leq 1 \}</math>, feltéve hogy ez a szuprémum véges.

Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, '''korlátos lineáris operátoroknak''' nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a [[folytonos függvény|folytonos]] lineáris operátorok.

Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen <math>(X,\mathcal{A},\mu)</math> [[mértéktér]], és vegyük a következő függvényteret:

<math>L^p(X)=\{f:X\to\mathbb{{K}} :\int_{X}|f|^p d\mu<\infty\}</math>

Vezessünk be ezen egy [[ekvivalencia-relációt]]:

<math>f\sim g\Leftrightarrow \mu\left(\{x:f(x)\not=g(x)\}\right)=0</math>

== Tulajdonságok ==
== Tulajdonságok ==

A lap 2008. december 10., 14:53-kori változata

A normált tér matematikai objektum, az analízis és azon belül a funkcionálanalízis vizsgálja. Fontos speciális esete a közönséges 3-dimenziós tér. Valójában a normált tér éppen ennek egy természetes általánosítása.

Definíció

A kettőst normált térnek nevezzük, ha vektortér a számtest felett, ahol a komplex vagy valós számok teste, a függvény pedig egy úgynevezett norma, amelyik teljesíti az alábbi tulajdonságokat:

Példák

Legegyszerűbb példák a véges dimenziós komplex és valós vektorterek, rajtuk az úgynevezett euklideszi normával. Ha , akkor ennek euklideszi normája:

Más normák is értelmezhetőek ezen a vektortéren:

Ha adott két normált tér, akkor egy köztük menő lineáris operátor normáját is lehet értelmezni. Legyen ugyanis két normált tér, egy lineáris operátor. Ennek (operátor)normája:

, feltéve hogy ez a szuprémum véges.

Az olyan lineáris operátorokat, amelyekre ez véges, korlátos lineáris operátoroknak nevezzük. Jegyezzük meg, hogy ezek az operátorok pontosan a folytonos lineáris operátorok.

Függvénytereken is lehet normát értelmezni. Legyen mértéktér, és vegyük a következő függvényteret:

Vezessünk be ezen egy ekvivalencia-relációt:

Tulajdonságok