Disztributivitás

A disztributivitás két matematikai művelet között fennálló tulajdonság. Akkor mondjuk, hogy egy művelet (jelöljük ezt ⊕-tel) disztributív egy másik (mondjuk ×-tel jelölt) műveletre nézve, ha azonos végeredményre jutunk akkor is ha egy × művelet végrehajtása után az így kapott eredménnyel hajtjuk végre a ⊕ műveletet, illetve akkor is, ha még a × művelet végrehajtása előtt végrehajtjuk a ⊕ műveletet a × mindkét tényezőjén, majd a × műveletet az eredeti tényezők helyett az így kapott elemeken hajtjuk végre.

Amennyiben a műveletek kommutativitása nem teljesül, akkor lehet csak baloldali vagy csak jobboldali disztributivitásról beszélni. E jelzők elhagyásával ilyenkor mindkét oldali disztributivitásra utalunk.

Definíció

Legyen $(A;+,\cdot )$ tetszőleges struktúra, ahol $+,\cdot$ kétváltozós műveletek. Akkor mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet disztributív a $+$ műveletre nézve (illetve, y a $(A;+,\cdot )$ struktúra disztributív), ha tetszőleges $a,b,c\in A$ elemekre teljesül, hogy

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$, és

$c\cdot (a+b)=(c\cdot a)+(c\cdot b)$.

Példák

• A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek esetében a szorzás disztributív az összeadásra (azaz tetszőleges $a,b,c\in R$ valós számokra $(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$), azonban az összeadás nem disztributív a szorzásra.
• Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kölcsönösen disztributívak egymásra, azaz $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$, illetve $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$. Ez asszociatív is.

Disztributív struktúrák

• Gyűrű
• Integritástartomány
• Test

Lásd még

• Asszociativitás
• Kommutativitás

Hivatkozások

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)