„Operátornorma” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
ford. en:Operator norm |
a →Ekvivalens definíciók: ...ööö, typo... |
||
38. sor: | 38. sor: | ||
:::<math> = \sup\{\|Av\| : v\in V ,\|v\| \le 1\}</math> |
:::<math> = \sup\{\|Av\| : v\in V ,\|v\| \le 1\}</math> |
||
:::<math> = \sup\{\|Av\| : v\in V ,\|v\| = 1\}</math> |
:::<math> = \sup\{\|Av\| : v\in V ,\|v\| = 1\}</math> |
||
:::<math> = \sup\left\{\frac{\|Av\|}{\|v\|} : v\in V |
:::<math> = \sup\left\{\frac{\|Av\|}{\|v\|} : v\in V, v\ne 0\right\}.</math> |
||
== Tulajdonságok == |
== Tulajdonságok == |
A lap 2008. március 7., 03:10-kori változata
A matematikában az operátornormát lineáris operátorok mérésére használják. Formálisan két normált vektortér közötti korlátos lineáris leképezések halmazán definiálják.
Bevezetés és definíció
Adott két normált vektortér V és W (ugyanazon test felett, amely vagy a valós számok R vagy a komplex számok C halmaza). Egy A : V → W lineáris operátor akkor és csak akkor folytonos, ha létezik egy c valós szám, amelyre:
(a baloldali norma a W, a jobboldali norma a V vektortérben értendő).
Szemléletesen szólva a folytonos operátor egy vektort sem nyújt meg a c konstansnál nagyobb mértékben. Ezért korlátos halmaz folytonos képe szintén korlátos. Ezért is nevezik a folytonos lineáris operátorokat korlátos operátoroknak is. Ekkor az A operátor méréséhez adódik, hogy legyen a legkisebb olyan c, amelyre fennáll a fenti egyenlőtlenség minden V beli v vektorra. Más szóval úgy mérjük az operátort, hogy legfeljebb mennyivel nyújt meg egy vektort a legrosszabb esetben. Tehát az operátornorma definíciója a következő:
A minimum létezik, mert az összes ilyen c halmaza zárt, üres és alúlról korlátos.
Példák
Minden valós m x n mátrix definiál egy lineár leképezést Rn-ről Rm-re. Ezeken a vektortereken számos normát lehet értelmezni. Minden ilyen norma indukál egy-egy operátornormát az m x n mátrixok terén.
Speciálisan, az euklideszi norma az Rn és Rm tereken olyan operátornormát generál, amely minden A mátrixhoz az A*A mátrix legnagyobb sajátértékének a négyzetgyökét rendeli. (Ahol A* az A mátrix adjungáltját, azaz a transzponált konjúgátját jelöli.). Ez az érték ekvivalens az A mátrix legnagyobb szinguláris értékével.
Végtelendimenziós esetre példa az sorozattér:
Ez tekinthető az Cn euklideszi tér végtelen dimenziós megfelelőjének is. Minden korlátos s = (sn ) sorozat eleme a l ∞ térnek az alábbi normával:
Legyen Ts egyszerű szorzás:
ekkor a T s korlátos a következő operátornormával:
Ez a példa tovább általánosítható az l 2 tér helyett általános Lp teret használva p > 1 esetben illetve l∞ helyett az L∞ normált térben.
Ekvivalens definíciók
Megmutatható, hogy az alábbi definíciók ekvivalensek:
Tulajdonságok
Az operátornorma tényleg norma a V és W között értelmezett korlátos operátorok terén:
- ahol
- (háromszögegyenlőtlenség)
Az alábbi egyenlőtlenség a definíció közvetlen következménye:
Az operátornorma kompatibilis a kompozíció és a szorzás műveletekre: ha V, W és X három azonos test feletti normált vektortér és A : V → W, B: W → X két korlátos operátor, akkor
A definícióból következik, hogy ha operátorok sorozata konvergens az operátornormában, akkor egyenletesen is konvergál korlátos halmazokon.