„Extenzionalitási axióma” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
7. sor: | 7. sor: | ||
* Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki: |
* Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki: |
||
:Az ''x'' és az ''y'' halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz. |
:Az ''x'' és az ''y'' halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz. |
||
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \ |
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \leftrightarrow x = y )</math> |
||
:Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis [[logikai igazság]]. |
:Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis [[logikai igazság]]. |
||
* A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az [[extenzionalitási axióma]] a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában). |
* A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az [[extenzionalitási axióma]] a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában). |
A lap 2008. február 18., 12:51-kori változata
Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma[1]) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:
- Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.[2]
Változatok
- Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:
- Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
- Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.
- A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
- Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
- ( rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.
- Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
- Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
- (Itt és két különböző tartalmazási reláció.) [3] Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.
Jegyzetek
Irodalom
- Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
- Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
- Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).