„Gömbkoordináták” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
88. sor: | 88. sor: | ||
\frac{1}{r}\cos\theta\cos\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta\sin\varphi & -\frac{1}{r}\sin\theta \\ |
\frac{1}{r}\cos\theta\cos\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta\sin\varphi & -\frac{1}{r}\sin\theta \\ |
||
-\frac{1}{r}\frac{\sin\varphi}{\sin\theta} & \frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & 0 |
-\frac{1}{r}\frac{\sin\varphi}{\sin\theta} & \frac{1}{r}\frac{\cos\varphi}{\sin\theta} & 0 |
||
\end{pmatrix}. |
|||
</math> |
|||
A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha <math>\textstyle r=0</math> vagy <math>\textstyle \sin \theta=0</math>, tehát <math>\textstyle \theta=0</math> vagy <math>\textstyle \pi</math>. Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal: |
|||
:<math> |
|||
J^{-1} |
|||
=\begin{pmatrix} |
|||
\frac{x}{r}&\frac{y}{r}&\frac{z}{r}\\\\ |
|||
\frac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\frac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ |
|||
\frac{-y}{x^2+y^2}&\frac{x}{x^2+y^2}&0 |
|||
\end{pmatrix}. |
\end{pmatrix}. |
||
</math> |
</math> |
A lap 2022. május 22., 19:54-kori változata
A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.
Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták.[1][2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.
A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.
Konvenciók
Definíció
Egy gömbi koordinátarendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:
- egy középpont, origó
- egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
- egy rögzített irány az egyenlítősíkon
Gyakran egy Descartes-féle koordinátarendszert is használnak a gömbi koordinátarendszerrel együtt. Ekkor:
- annak origója a gömbi koordinátarendszer origója
- annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
- annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott
A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:
- a sugár, a pont origótól mért távolsága
- vagy ,[3] polárszög vagy polártávolságszög,[4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög és közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
- vagy ,[3] azimutszög,[4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága -től -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.
Átszámítások
Minden hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben:
Ezekbe az egyenletekbe bármely , és koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: nemnegatív, értéke illetve [0, 180°] eleme, és a illetve (−180°, 180°], vagy a illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén tetszőleges. Az origó számára is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy , és az origó esetén .
A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben adott koordinátáikból az gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:[5]
Ezek az egyenletek felteszik, hogy értéke és és közötti. Ha értéke 0 és közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.
Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.
Alkalmazások
A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.
Alternatív jelölések
A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a és jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.
A nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke és közötti. Ha ezt jelöli, akkor . Ezzel szemben minden további nélkül megfelel a földrajzi hosszúságnak.
A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az
ábrázolás. Ebben az ábrázolásban a földrajzi szélesség.
Egy pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:
- ,
ahol .
Differenciálok transzformációja
Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformécióját a fenti Descartes-féle koordinátarendszerbe a következő mátrix írja le:
A hozzá tartozó funkcionáldeterminéns:
A transzformáció inverzét legegyszerűbben a mátrix invertálásával számolhatjuk ki:
A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha vagy , tehát vagy . Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:
Jegyzetek
- ↑ Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
- ↑ F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.
- ↑ a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
- ↑ a b Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.
- ↑ Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart.