„Szabad csoport” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Kategória javít csoportelméletről absztrakt algebrára. |
|||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika|matematikában]], a ''G'' [[csoport]] '''szabad csoport''' ha létezik |
A [[matematika|matematikában]], a ''G'' [[csoport]] '''szabad csoport''' ha létezik egy ''S'' [[részhalmaz]]a ''G''-nek, hogy ''G'' minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel ''S'' elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a ''st<sup>-1</sup>'' = ''su<sup>-1</sup>ut<sup>-1</sup>'' jellegű "bővítésektől" eltekintünk.) |
||
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a [[szabad ábeli csoport]]. |
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a [[szabad ábeli csoport]]. |
||
==Konstrukció== |
==Konstrukció== |
||
Az <math>F_S</math> szabad csoport ''S'' [[generátorhalmaz]]zal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: |
Az <math>F_S</math> szabad csoport ''S'' [[generátorhalmaz]]zal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: |
||
Nevezzük '''szó'''nak az ''S'' elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha ''S={a, b, c}'', akkor az alábbi például egy szó: |
Nevezzük '''szó'''nak az ''S'' elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha ''S={a, b, c}'', akkor az alábbi például egy szó: |
||
| 11. sor: | 10. sor: | ||
:<math>a b c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b \, a^{-1} c</math> |
:<math>a b c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b \, a^{-1} c</math> |
||
Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor '''redukált'''nak nevezik. Az ''F<sub>S</sub>'' szabad csoport ekkor definiálható az összes ''S''-ből származtatott redukált szó összességeként. |
Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor '''redukált'''nak nevezik. Az ''F<sub>S</sub>'' szabad csoport ekkor definiálható az összes ''S''-ből származtatott redukált szó összességeként. |
||
== Elemi tulajdonságok == |
|||
A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik: |
|||
* Minden ''G'' csoport valamely ''F(S)'' szabad csoport [[csoporthomomorfizmus|homomorf]] képe, ahol ''S'' a generátorhalmaz. A természetes <math>f:F(S) \to G</math> leképezés [[csoportepimorfizmus|epimorfizmus]]. Ebből következik az állítás. |
|||
* Ha ''S'' több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor ''F(S)'' nem kommutatív, azaz nem [[ábel-csoport]]. |
|||
* Két ''F(S), F(T)'' szabad csoport akkor és csak akkor [[csoportizomorfizmus|izomorf]], ha ''S'' és ''T'' számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport '''rang'''jának is. Így tehát minden ''k'' számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik. |
|||
== Lásd még == |
== Lásd még == |
||
* [[Csoport]] |
* [[Csoport]] |
||
A lap 2007. november 20., 00:08-kori változata
A matematikában, a G csoport szabad csoport ha létezik egy S részhalmaza G-nek, hogy G minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a st-1 = su-1ut-1 jellegű "bővítésektől" eltekintünk.)
Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a szabad ábeli csoport.
Konstrukció
Az szabad csoport S generátorhalmazzal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: Nevezzük szónak az S elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha S={a, b, c}, akkor az alábbi például egy szó:
Ha egy elem közvetlenül az inverze mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az s, s-1 pár elhagyásával:
Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor redukáltnak nevezik. Az FS szabad csoport ekkor definiálható az összes S-ből származtatott redukált szó összességeként.
Elemi tulajdonságok
A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:
- Minden G csoport valamely F(S) szabad csoport homomorf képe, ahol S a generátorhalmaz. A természetes leképezés epimorfizmus. Ebből következik az állítás.
- Ha S több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor F(S) nem kommutatív, azaz nem ábel-csoport.
- Két F(S), F(T) szabad csoport akkor és csak akkor izomorf, ha S és T számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport rangjának is. Így tehát minden k számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.
