„Sík (geometria)” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2020. november 26., 21:25-kori változata

A sík a geometriában, azon belül tipikusan a kétdimenziós síkgeometriában és a háromdimenziós térgeometriában fontos fogalom.

Definíciója

Euklidész az Elemekben (az egyeneshez hasonlóan) előbb a felületet definiálja: Felület az, aminek csak hosszúsága és szélessége van, és csak ezután határozza meg a síkot: Síkfelület az, amelyik a rajta levő egyenesekhez viszonyítva egyenlően fekszik. Ma már a síkot is alapfogalomnak tekintjük a geometriában, tehát nem definiáljuk.

Jellemzése

Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:

Kétdimenziós objektum,^[1] azaz egy irányban végtelen, a második irányban 0 a kiterjedése.
Három nem kollineáris^[2] pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.

Sík megadása az analitikus geometriában

Egy sík egyenlete egy olyan egyenlet, melyet a sík minden pontja teljesít, és ha egy pont teljesíti, akkor rajta van a síkon. Legyen $(x_{0},y_{0},z_{0})$ a sík egy pontja és egy $(a,b,c)$ normálvektor^[3]. Ekkor a sík egyenlete:

ax+by+cz=d

ahol a d konstans a következőképpen adódik:

d=ax_{0}+by_{0}+cz_{0}

A sík egyenlete a skaláris szorzat fogalmát felhasználva is megfogalmazható:

\langle {\mathbf {(} x,y,z)},{\mathbf {(} a,b,c)}\rangle =d

Jegyzetek

↑ Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete $ax+by+c=0$ alakú!
↑ Nem egy egyenesre illeszkedő.
↑ Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

Lásd még

[1] Az n-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (n–1)-dimenziós hipersíkok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete $ax+by+c=0$ alakú!

[2] Nem egy egyenesre illeszkedő.

[3] Olyan vektor, ami merőleges a síkra. Gyakran felteszik, hogy a normálvektor egység hosszú, azaz $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Ez elsősorban kényelmi szempont, mert ekkor sok számítás leegyszerűsödik.

[1]

[2]

[3]

@@ 6. sor: / 6. sor: @@
 == Jellemzése ==
 Hogy pontosan mit jelent a sík, azt mindenki magának határozza meg (a mindennapi tapasztalataival összhangban). Geometriai szempontból a sík legfontosabb tulajdonságai:
+* Kétdimenziós objektum,<ref>Az ''n''-dimenziós geometriában a hasonlóan fontos objektumok az (''n''–1)-dimenziós '''hipersík'''ok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete <math>ax+by+c=0</math> alakú!</ref> azaz egy irányban végtelen, a második irányban 0 a kiterjedése.
-* Kétdimenziós objektum,<ref>Az ''n''-dimenziós geometriában a hasonlóan fontoEqFyfr
-s objektumok az (''n''–1)-dimenziós '''hipersík'''ok. Ezekre lényegében minden az itt leírt tulajdonságokkal analóg módon levezethető. Lásd: a hipersík két dimenzióban a hagyományos egyenes → egyenlete <math>ax+by+c=0</math> alakú!</ref> azaz egy irányban végtelen, a második irányban 0 a kiterjedése.
 * Három nem kollineáris<ref>Nem egy egyenesre illeszkedő.</ref> pont egyértelműen meghatározza, azaz ha két síknak létezik három nem kollineáris közös pontja, akkor az összes pontjuk közös.
 * Ha két síknak létezik egy közös pontja, akkor létezik olyan egyenes, ami mindkét síkra illeszkedik.