„Extenzionalitási axióma” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Kurzív tartalmú zárójelek korr., ld.: WP:BÜ
BinBot (vitalap | szerkesztései)
a (Sor)szám és pontja utáni szóköz pótlása kézi ellenőrzéssel
1. sor: 1. sor:
Az '''extenzionalitási axióma''' (röviden: ''extenzionalitás''; olykor: ''meghatározottsági axióma''<ref>Hajnal-Hamburger [1983], 121.o.</ref>) a [[halmazelmélet]]i axiómarendszerek tipikus [[axióma|axiómája]]:
Az '''extenzionalitási axióma''' (röviden: ''extenzionalitás''; olykor: ''meghatározottsági axióma''<ref>Hajnal-Hamburger [1983], 121. o.</ref>) a [[halmazelmélet]]i axiómarendszerek tipikus [[axióma|axiómája]]:
:Ha az ''x'' és az ''y'' halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz.
:Ha az ''x'' és az ''y'' halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz.
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )</math>
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )</math>
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.<ref>Jech [2003], 6.o.</ref>
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.<ref>Jech [2003], 6. o.</ref>


== Változatok ==
== Változatok ==
16. sor: 16. sor:
* Andrzej Kisielewicz különös ''kétepszilonos halmazelméletének'' ''(double extension set theory)'' különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
* Andrzej Kisielewicz különös ''kétepszilonos halmazelméletének'' ''(double extension set theory)'' különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )</math>
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )</math>
:(Itt <math>\in</math> és <math>\epsilon</math> két különböző tartalmazási reláció.)<ref>Kisielewicz [1989], 83.o.</ref> Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.
:(Itt <math>\in</math> és <math>\epsilon</math> két különböző tartalmazási reláció.)<ref>Kisielewicz [1989], 83. o.</ref> Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.


== Jegyzetek ==
== Jegyzetek ==

A lap 2019. október 5., 13:58-kori változata

Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma[1]) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:

Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.

Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.[2]

Változatok

  • Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:
Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.
  • A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
  • Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
( rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.
  • Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
  • Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
(Itt és két különböző tartalmazási reláció.)[3] Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.

Jegyzetek

  1. Hajnal-Hamburger [1983], 121. o.
  2. Jech [2003], 6. o.
  3. Kisielewicz [1989], 83. o.

Irodalom

  • Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
  • Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
  • Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).