„Extenzionalitási axióma” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
a Kurzív tartalmú zárójelek korr., ld.: WP:BÜ |
a (Sor)szám és pontja utáni szóköz pótlása kézi ellenőrzéssel |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
Az '''extenzionalitási axióma''' (röviden: ''extenzionalitás''; olykor: ''meghatározottsági axióma''<ref>Hajnal-Hamburger [1983], 121.o.</ref>) a [[halmazelmélet]]i axiómarendszerek tipikus [[axióma|axiómája]]: |
Az '''extenzionalitási axióma''' (röviden: ''extenzionalitás''; olykor: ''meghatározottsági axióma''<ref>Hajnal-Hamburger [1983], 121. o.</ref>) a [[halmazelmélet]]i axiómarendszerek tipikus [[axióma|axiómája]]: |
||
:Ha az ''x'' és az ''y'' halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz. |
:Ha az ''x'' és az ''y'' halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor ''x'' és ''y'' ugyanaz a halmaz. |
||
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )</math> |
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \in y ) \rightarrow x = y )</math> |
||
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.<ref>Jech [2003], 6.o.</ref> |
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.<ref>Jech [2003], 6. o.</ref> |
||
== Változatok == |
== Változatok == |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
* Andrzej Kisielewicz különös ''kétepszilonos halmazelméletének'' ''(double extension set theory)'' különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát: |
* Andrzej Kisielewicz különös ''kétepszilonos halmazelméletének'' ''(double extension set theory)'' különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát: |
||
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )</math> |
:<math>\forall x \forall y \, ( \forall z \, ( z \in x \leftrightarrow z \,\mathop{\epsilon}\, y ) \rightarrow x = y )</math> |
||
:(Itt <math>\in</math> és <math>\epsilon</math> két különböző tartalmazási reláció.)<ref>Kisielewicz [1989], 83.o.</ref> Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától. |
:(Itt <math>\in</math> és <math>\epsilon</math> két különböző tartalmazási reláció.)<ref>Kisielewicz [1989], 83. o.</ref> Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától. |
||
== Jegyzetek == |
== Jegyzetek == |
A lap 2019. október 5., 13:58-kori változata
Az extenzionalitási axióma (röviden: extenzionalitás; olykor: meghatározottsági axióma[1]) a halmazelméleti axiómarendszerek tipikus axiómája:
- Ha az x és az y halmaznak pontosan ugyanazok az elemei, akkor x és y ugyanaz a halmaz.
Általában úgy tartják, hogy ez az axióma fejezi ki a halmazfogalom lényegét: a halmazokat meghatározzák az elemeik.[2]
Változatok
- Az axiómát olykor a megfordításával együtt mondják ki:
- Az x és az y halmaznak akkor és csak akkor pontosan ugyanazok az elemei, ha x és y ugyanaz a halmaz.
- Ez a megfogalmazás azonban redundáns; a megfordítás ugyanis logikai igazság.
- A halmazelméleti axiómarendszereket olykor azonosságjel-mentes elsőrendű nyelven vezetik be. Ilyenkor az extenzionalitási axióma a halmazegyenlőség definíciójává válik (a megfordításával együtt kimondott változatában).
- Atomos halmazelméletekben az axióma a következő, gyengébb formát veszi fel:
- ( rövidíti azt, hogy x halmaz.) A gyengítésre azért van szükség, hogy különbséget lehessen tenni az atomok között. Erre a változatra gyenge extenzionalitásként szoktak hivatkozni.
- Osztályrealista halmazelméletekben (például az NBG-ben) általában valódi osztályokra is kiterjesztik az axiómát.
- Andrzej Kisielewicz különös kétepszilonos halmazelméletének (double extension set theory) különféle változatai a következő formában mondják ki az extenzionalitási axiómát:
- (Itt és két különböző tartalmazási reláció.)[3] Ez az egyetlen ismert példa olyan halmazelméletre, amely lényegesen eltér a szokásos extenzionalitási axiómától.
Jegyzetek
Irodalom
- Hajnal András - Hamburger Péter: Halmazelmélet. Tankönyvkiadó, 1983.
- Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
- Andrzej Kisielewicz: Double extension set theory. Reports on Mathematical Logic 23(1989).