Lineáris leképezés

Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha

• két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
• egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.

Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.

A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.

Definíciók

Legyen V és U a $\mathbb {T}$ test feletti két vektortér. Az ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$ leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v₁ és v₂ ∈ V vektorra, illetve minden λ ∈ $\mathbb {T}$ elemre és v ∈ V vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:

• additivitás: ${\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2})={\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})$

• homogenitás: ${\mathcal {A}}(\lambda \mathbf {v} )=\lambda {\mathcal {A}}(\mathbf {v} )$

A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy ${\mathcal {A}}$ megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz bármely n természetes szám esetén minden λ₁, λ₂, … , λ_n $\mathbb {T}$-beli elemre és v₁, v₂, … , v_n ∈ V vektorra:

${\mathcal {A}}(\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+...+\lambda _{n}\mathbf {v} _{n})=\lambda _{1}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{1})+\lambda _{2}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{2})+...+\lambda _{n}{\mathcal {A}}(\mathbf {v} _{n})$.

Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.

Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$ egy $\mathbb {T}$ feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az ${\mathcal {A}}$ leképezés $\mathbb {T}$-lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a $\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$, $z\mapsto {\overline {z}}\,$ konjugálás ugyan $\mathbb {R}$-lineáris, de nem $\mathbb {C}$-lineáris.

A $V\rightarrow \mathbb {T}$ típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe mint egydimenziós vektortérbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.

A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz

$\operatorname {Im} ({\mathcal {A}}):=\{\,\mathbf {w} \in U:\mathbf {w} ={\mathcal {A}}(\mathbf {v} ),\mathbf {v} \in V\,\}$ módon definiált képtér esetén

$\operatorname {rang} ({\mathcal {A}}):=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} ({\mathcal {A}}))$.

Jelölése

Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:

${\mathcal {O}}$, ${\underline {\underline {\mathcal {A}}}}$, ${\widehat {\mathcal {B}}}$, ${\widehat {\underline {\underline {C}}}}$,$\varphi \,$, ${\mathcal {A}}\mathbf {v}$

Fajtái

• Monomorfizmus: ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$ injektív lineáris homomorfizmus
• Epimorfizmus: ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$ szürjektív lineáris homomorfizmus
• Izomorfizmus: ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$ bijektív lineáris homomorfizmus
• Endomorfizmus: ${\mathcal {A}}:V\rightarrow V$ lineáris homomorfizmus
• Automorfizmus: ${\mathcal {A}}:V\rightarrow V$ bijektív lineáris homomorfizmus

Tulajdonságai

• Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha ${\mathcal {A}}:V\rightarrow U$, akkor ${\mathcal {A}}(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{U}$. Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.

Mátrixreprezentáció

Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a lineáris leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely v n-elemű vektorhoz az A·v m-elemű vektort rendeli.

Ugyanakkor lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor a leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).

Előírhatósági tétel

Ha ${\mathcal {A}}$ és ${\mathcal {B}}$ két V $\rightarrow$ U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b₁, b₂, …, b_n) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz

${\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{1})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{1}),\;{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{2})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{2}),\;...\;,{\mathcal {A}}(\mathbf {b} _{n})={\mathcal {B}}(\mathbf {b} _{n})$

akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}$.

Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n darab vektora egyértelműen meghatározza.

Leképezés mátrixa

Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:

$[{\mathcal {A}}]_{B,C}={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{1}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{2}\\\vert \\\vert \end{matrix}}&...&{\begin{matrix}\vert \\\vert \\{\mathcal {A}}\mathbf {b} _{n}\\\vert \\\vert \end{matrix}}\end{bmatrix}}$

ahol B = (b₁, b₂, …, b_n) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek ${\mathcal {A}}$ általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a $[{\mathcal {A}}]_{B,C}$ mátrix összesen m $\cdot$ n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha ${\mathcal {A}}$ $V\rightarrow V$ típusú, akkor csak $[{\mathcal {A}}]_{B}$-t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán $[{\mathcal {A}}]$-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a $\mathbb {T} ^{n}$ n-dimenziós vektortér (például $\mathbb {R} ^{n}$) bázisaként az $e_{i}=(0,0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ (ahol i = 1, 2, ... , n) vektorok alkotta természetes avagy sztenderd bázisról van szó, azaz a

${\mbox{ }}_{{\mbox{ }}_{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\;\dots \;,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}}$

vektorrendszerről.

A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:

$[{\mathcal {A}}\mathbf {v} ]_{C}=[{\mathcal {A}}]_{B,C}\cdot [\mathbf {v} ]_{B}$

Hasonló mátrixok

Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.

Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: A ∼ B), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre

$B=P^{-1}AP$.

Bizonyítható állítások:

• Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
• A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
• Egy lineáris leképezés rangja megegyezik a bármely bázis választása esetén hozzá tartozó mátrix rangjával. Ebből következik, hogy hasonló mátrixok rangjai megegyeznek.

Lineáris leképezések tere

Az azonos $\mathbb {T}$ test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik, ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.

A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V $\rightarrow$ V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.

A V $\rightarrow$ V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti általános lineáris csoportot (GL(V)).

Operátorműveletek és mátrixműveletek

A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.

• Kompozíció

$[{\mathcal {A}}\circ {\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]\cdot [{\mathcal {B}}]$

• Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:

$[{\mathcal {A}}^{-1}]=[{\mathcal {A}}]^{-1}$

• Összeadás

$[{\mathcal {A}}+{\mathcal {B}}]=[{\mathcal {A}}]+[{\mathcal {B}}]$

• Skalárszorzás

$[\lambda {\mathcal {A}}]=\lambda \cdot [{\mathcal {A}}]$

Példák

Síkbeli lineáris transzformációk és $\mathbb {R} ^{2}$ felett a sztenderd bázishoz tartozó mátrixaik:

• identitás

  • $\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

• forgatás az origó körül
  • 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:

    $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$

  • tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:

    $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

• tükrözés
  • az x-tengelyre:

    $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

  • az y-tengelyre:

    $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

• kétszeres nagyítás:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I}$

• vízszintes nyírás:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}$

• hiperbolikus forgatás:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}$

• merőleges vetítés az y-tengelyre:

  $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$

Nem lineáris transzformáció:

• eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)

Források

• PlanetMath: Linear transformation
• Encyclopaedia of Mathematics: Linear operator
• MathWorld: Linear Transformation