Racionális számok

A matematikában racionális számnak (hányados- vagy vegyes-törtszámnak) nevezzük két tetszőleges egész szám hányadosát, amelyet többnyire az a/b alakban írunk fel, ahol b nem nulla.

Egy racionális számot végtelen sok alakban felírhatunk, például ${\frac {3}{6}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$. A legegyszerűbb, azaz tovább nem egyszerűsíthető alak akkor áll elő, amikor a és b relatív prím. Minden racionális számnak pontosan egy olyan tovább nem egyszerűsíthető alakja van, ahol a nevező pozitív (irreducibilis tört).

A racionális számok tizedestört alakja véges vagy végtelen szakaszos (tehát a felírásban egy ponton túl a számsorozat periodikusan ismétlődik). Ez az állítás nem csak a tízes-, hanem tetszőleges, egynél nagyobb, egész alapú számrendszerben való felírásra igaz. A tétel fordítottja is igaz: ha egy szám felírható véges vagy végtelen szakaszos tizedestört alakban, akkor az racionális szám.

Azokat a valós számokat, amelyek nem racionálisak, irracionális számoknak nevezzük.

A racionális számok halmazát tipográfiailag kiemelt Q (vagy $\mathbb {Q}$) betűvel jelöljük (a latin quotiens (hányszor?), illetve az angol quotient (hányados) szóból). Halmazdefinícióként felírva:

$\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}$

Törtek, törtszámok és racionális számok

A racionális szám a hétköznapi szóhasználatban, illetve az elemi matematika területén használt tört v. törtszám fogalmának egy precízebb változata. Egy számot racionálisnak nevezünk, ha felírható a/b tört alakban, ahol a és b is egész számok. A gyakorlatban a "racionális szám" kifejezés általában helyettesíthető a "tört(szám)" fogalmával. Elméletben, köszönhetően a matematika általánosságra és precízségre törekvésének, ugyanakkor a két fogalom nem ugyanaz.

Egyrészt a "tört" jóval általánosabb fogalom, a számok felírásának formáját és nem feltétlenül az értéküket írja le. Törteket lehet pl. kifejezésekből vagy függvényekből (vagy akár irracionális számokból) is készíteni. Ezért "tört" helyett rögtön szükségessé válik a pontosabb "törtszám" kifejezés. A tankönyvek általában úgy definiálják ezeket, mint olyan a/b alakú törteket, ahol a,b egészek, és a nem osztható maradék nélkül b-vel (ezek tehát olyan racionális számok, melyek nem egészek).

További gond, hogy az egész számok is felírhatóak törtek alakjában, ráadásul végtelen sokféle módon (pl. 2= 2/1 = 4/2 = 6/3 = ... ), tehát algebrai, formális értelemben az egész számok is tekinthetőek "törteknek" v. "törtszámoknak" (habár nem tekintjük őket annak). Másrészt (és a például adott egyenlőségeket a másik oldaláról nézve), a törtek értéke is lehet egész szám. Tehát a "tört" fogalom nem eléggé precíz, amennyiben olyankor kell használni, amikor a cél a számok nem egész voltának kihangsúlyozása. Ezért szükséges a pontosabb „törtszám” kifejezés használata.

A matematika több ágában, így pl. a diofantikus approximációk elméletében, ugyanakkor sok esetben kényelmesebb az egészekről és a törtszámokról egy kifejezéssel beszélni, őket egy kategóriába sorolni (az egészek és a törtszámok között sokkal kisebb az elméleti törés, sokkal több a hasonlóság, mint a törtek és az irracionális számok között). Így szükség van egy olyan kifejezésre, ami alá az egészek és a törtszámok is tartoznak, viszont kifejezések, függvények stb. nem. Így jutunk (pontosabban ezért juthatunk) a "racionális szám" fogalmához.

Aritmetika

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$

 

${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$

 

Két racionális szám, ${\frac {a}{b}}$ és ${\frac {c}{d}}$ akkor és csak akkor egyenlők, ha $ad=bc.$

A racionális számoknak létezik additív és a nullától különbözőknek multiplikatív inverze:

$-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}$

 

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ ha }}a\neq 0$

A tovább nem egyszerűsíthető alak:

${\frac {c}{d}}\;:=\;{\frac {a\div e}{b\div e}}$

ahol

$e:=\operatorname {sgn}(b)\cdot \operatorname {abs} {\bigl (}\operatorname {lnko} (a,b){\bigr )}$,

$\operatorname {lnko} (a,b)$ az $a,b$ egész számok legnagyobb közös osztója, ami kiszámítható például euklideszi algoritmussal. Ha $n$ egész szám, akkor tovább nem egyszerűsíthető tört alakja ${\tfrac {n}{1}}.$

Rendezés

A racionális számok rendezése megadható úgy, mint:

${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\qquad :\Longleftrightarrow \qquad a\operatorname {sgn}(b)\operatorname {abs} (d)<\operatorname {abs} (b)c\operatorname {sgn}(d)$

ahol $<$ az egész számok szokásos rendezése, $\operatorname {sgn}$ a szignumfüggvény és $\operatorname {abs}$ az abszolútérték. A bővítés és az egyszerűsítés nincs hatással az összehasonlításra. Ez a rendezés az egész számok rendezésének kiterjesztése, ugyanis $b=\operatorname {sgn}(b)=\operatorname {abs} (b)=d=\operatorname {sgn}(d)=\operatorname {abs} (d)=1$.

Történetük

Egyiptomi törtek

Minden pozitív racionális szám felírható véges sok különböző pozitív egész reciprokának összegeként. Például:

${\frac {5}{7}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{21}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}$

Sőt, minden pozitív racionális számnak végtelen sok ilyen formájú, különböző felírása lehetséges. Ezt az alakot egyiptomi törtnek is nevezzük, mivel már az ókori Egyiptomban is használták, akik egyébként a diadikus törteket is a maitól eltérő alakban írták le.

Formális definíció

A racionális számok precízen egész számok rendezett párjaként definiálhatók: $\left(a,b\right)$ ahol b nem nulla. Az összeadást és szorzást ezeken a párokon a következőképp definiáljuk:

$\left(a,b\right)+\left(c,d\right)=\left(ad+bc,bd\right)$

$\left(a,b\right)\times \left(c,d\right)=\left(ac,bd\right)$

Annak érdekében, hogy teljesüljön az elvárt ${\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}$ tulajdonság, definiálni kell egy ekvivalenciarelációt is ($\sim$) a következőképpen:

$\left(a,b\right)\sim \left(c,d\right)\Leftrightarrow ad=bc$

Ez az ekvivalenciareláció kompatibilis a fent definiált összeadással és szorzással. Legyen ezután Q az ekvivalenciaosztályok halmaza, más szóval azonosnak tekintjük az (a, b) és a (c, d) párt, ha ekvivalensek. (Ez a konstrukció elvégezhető minden integritástartomány esetében, lásd hányadostest.)

Az így kapott számok halmazán a teljes rendezés is definiálható:

$\left(a,b\right)\leq \left(c,d\right)\Leftrightarrow (bd>0\wedge ad\leq bc)\vee (bd<0\wedge ad\geq bc)$

Tulajdonságok

A racionális számok halmaza ($\mathbb {Q}$) az összeadás és a szorzás műveletével testet alkot. Ez a test az egész számok ($\mathbb {Z}$) hányadosteste.

A racionális számok halmaza a legszűkebb 0 karakterisztikájú test. Minden egyéb 0 karakterisztikájú test tartalmazza a racionális számok testének egy izomorf képét.

A racionális számok algebrai lezártja (azaz a racionális együtthatós polinomok gyökeit is tartalmazó legszűkebb test) az algebrai számok halmaza.

A racionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen, vagyis sorozatba rendezhető. Mivel a valós számok számossága ennél nagyobb, így mondhatjuk, hogy a valós számok túlnyomó többsége irracionális.

A racionális számok halmazának Lebesgue-mértéke nulla.

A racionális számok sűrűn rendezett halmazt alkotnak: bármely két különböző racionális szám között van egy harmadik, (és így végtelen sok). A rendezett halmazok között pontosan a racionális számok halmaza (meg a vele izomorfak) azok, amelyek megszámlálhatóak, sűrűn rendezettek és nincs legkisebb vagy legnagyobb elemük (Georg Cantor tétele).

Valós számok

A racionális számok a valós számok halmazának sűrű részhalmazát alkotják, azaz minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok. Ugyancsak igaz, hogy a racionális számok pontosan a véges lánctört formájában írható valós számok.

Mivel rendezett halmazt alkotnak, a racionális számokat elláthatjuk a rendezéstopológiával. Ez azonos a valós számok rendezéstopológiájának altértopológiájával, továbbá egyben metrikus tér is, a következő metrikával: $d\left(x,y\right)=|x-y|$.

E topologikus tér a műveletekkel topologikus testet alkot. A racionális számok topológiája nem lokálisan kompakt. Ez a tér úgy is jellemezhető, hogy az egyetlen megszámlálható metrikus tér, amiben nincsenek izolált pontok. A tér továbbá teljesen széteső. A racionális számok tere nem teljes, teljes lezártja a valós számok tere.

p-adikus számok

A fent említett, a szokásos abszolút értékből definiált metrikán kívül vannak más, nem kevésbé fontos metrikák is, amelyek $\mathbb {Q}$-t topologikus testté szervezik:

legyen $p$ tetszőleges prímszám, definiáljuk minden nemnulla egész $a$ esetén $\vert a\vert _{p}=p^{-n}$-t, ahol $n$ $p$ legnagyobb hatványának kitevője, ami osztja $a$-t; legyen továbbá $\vert 0\vert _{p}=0$. Tetszőleges ${\frac {a}{b}}$ racionális szám esetén legyen $\left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {\vert a\vert _{p}}{|b|_{p}}}$.

Ekkor $d_{p}\left(x,y\right)=|x-y|_{p}$ metrikus teret definiál $\mathbb {Q}$-n. Ez a tér, $\left(\mathbb {Q} ,d_{p}\right)$ nem lesz teljes, teljes burka a p-adikus számok $\mathbb {Q} _{p}$ teste lesz.

Források

• A racionális számok a MathWorld-ön