„Asszociativitás” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
normális képletek
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
a (Bot: 45 interwiki link migrálva a Wikidata d:q177251 adatába)
(normális képletek)
{{nincs forrás}}
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' vagy '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha <math>A</math> egy tetszőleges halmaz és <math>*\! :A×A→A\ A \times A \rightarrow A</math> egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges <math>x,y∈A y \in A</math> elemekre a <math>*\!(x, y) =c∈A c \in A</math> helyett <math>x * y = c</math>); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha az <math>A</math> tetszőleges <math>x, y, z</math> elemeire teljesül:<ref>Megjegyzés: <math>(x * y) * z</math> helyett egyszerűen <math>x * y * z</math> is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például <math>x * y * z * u</math> automatikusan így zárójelezendő: <math>((x * y) * z) * u</math>).</ref>
 
<center> (x*y)*z = x*(y*z) &nbsp;.<ref>Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: &nbsp; (((x*y)*z)*u) &nbsp;).</ref></center>
<math display="block">(x * y) * z = x * (y * z)</math>
 
Ez a függvény- (vagy [[operátor#A prefix írásmód|prefix]]-) jelöléssel így írható:
 
<center>math display="block">*\!(\!*\!(x, y), z) = *\!(x, *\!(y, z)) </centermath>
 
Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind-mind asszociatív: <math>(a + b) + c = a + (b + c) </math>, szorzás esetében <math>(a· \cdot b)· \cdot c = a· \cdot (b· \cdot c) </math>. (Itt <math>a, b és, c </math> mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.)
 
Azokat az <math>(A, *) </math> [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek <math>* </math> művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük.
 
== Az általánosított asszociativitás tétele ==
 
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:
 
* Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
** Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív;
** Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>∈A elemekre az a<sub>1</sub>*a<sub>2</sub>*…*a<sub>n</sub> :=c∈A műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített c elemet adja; itt n∈'''[[Természetes számok|N]]'''<sup>+</sup> értelemszerűen nemnegatív [[természetes számok]].<ref>E tétel az n&ge;3 kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n&le;2 esetében – automatikusan igaz.</ref>
** Legyenek A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>k</sub> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor Π(A<sub>1</sub>∨A<sub>2</sub>∨…∨A<sub>k</sub>) = Π(A<sub>1</sub>) · Π(A<sub>2</sub>) · … · Π(A<sub>k</sub>), ahol Π a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg ∨ az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli.
 
** Az A halmazon értelmezett <math>* </math> kétváltozós művelet asszociatív;
[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen.
** Tetszőleges <math>n </math> db. (nem felt.feltétlenül különböző) a<sub>1</submath>a_1, a<sub>2</sub>a_2, \dots, a<sub>na_n \in A </submath>∈A elemekre az a<sub>1</submath>a_1 *a<sub>2</sub> a_2 * \dots *a<sub>n</sub> a_n :=c∈A c \in A </math> műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített <math>c </math> elemet adja; itt n∈'''[[Természetes számok|N]]'''<supmath>n \in \N^+ </supmath> értelemszerűen nemnegatív [[természetes számok]].<ref>E tétel az <math>n&ge; \geq 3</math> kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt <math>n&le; \leq 2</math> esetében – automatikusan igaz.</ref>
** Legyenek A<sub>1</submath>A_1, A<sub>2</sub>A_2, \dots, A<sub>kA_k </submath> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor Π<math>\textstyle \prod(A<sub>1</sub>∨A<sub>2</sub>∨…∨A<sub>k</sub> \vee A_2 \vee \ldots \vee A_k) = Π\textstyle \prod(A<sub>1</sub>A_1) ·\cdot Π\textstyle \prod(A<sub>2</sub>A_2) ·\cdot \ldots ·\cdot Π\textstyle \prod(A<sub>kA_k) </submath>), ahol Π<math>\textstyle \prod </math> a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását);, míg <math>\vee </math> az adott sorrendben való "egyesítésüket"„egyesítésüket” jelöli.
 
[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguktagjuk legyen.
 
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett [[teljes indukció]]val történhet.)
 
== Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt ==
 
Egy művelet asszociativitása a [[művelettábla|művelettáblájáról]] (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. [[Light-féle eljárás]].
 
== Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról ==
Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes mind <math>(A∪BA \cup B)∪C \cup C = A∪A \cup (B∪CB \cup C) </math> (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása”) és <math>(A∩BA \cap B)∩C \cap C = A∩A \cap (B∩CB \cap C) </math> is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesernteljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
 
== Lásd még ==
Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes mind (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása” és (A∩B)∩C = A∩(B∩C) is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk. Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesern kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
 
== Lásd még ==
* [[Kommutativitás]]
* [[Disztributivitás]]

Navigációs menü