„Asszociativitás” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2017. december 22., 22:46-kori változata

A matematikában az asszociativitás vagy csoportosíthatóság a kétváltozós (binér/bináris) matematikai műveletek egy tulajdonsága, fontos algebrai azonosság: ha $A$ egy tetszőleges halmaz és $*\!:\ A\times A\rightarrow A$ egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges $x,y\in A$ elemekre a $*\!(x,y)=c\in A$ helyett $x*y=c$ ); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha $A$ tetszőleges $x,y,z$ elemeire teljesül:^[1]

(x*y)*z=x*(y*z)

Ez a függvény- (vagy prefix-) jelöléssel így írható:

*\!(\!*\!(x,y),z)=*\!(x,*\!(y,z))

Például a természetes, valós vagy akár a komplex számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind asszociatív: $(a+b)+c=a+(b+c)$ , szorzás esetében $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ . (Itt $a,b,c$ mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.)

Azokat az $(A,*)$ matematikai struktúrákat, melyek $*$ művelete asszociatív, félcsoportoknak nevezzük.

Az általánosított asszociativitás tétele

Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:

Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:

Az A halmazon értelmezett $*$ kétváltozós művelet asszociatív;
Tetszőleges $n$ db. (nem feltétlenül különböző) $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in A$ elemekre az $a_{1}*a_{2}*\dots *a_{n}:=c\in A$ műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített $c$ elemet adja; itt $n\in \mathbb {N} ^{+}$ .^[2]
Legyenek $A_{1},A_{2},\dots ,A_{k}$ tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor $\textstyle \prod (A\vee A_{2}\vee \ldots \vee A_{k})=\textstyle \prod (A_{1})\cdot \textstyle \prod (A_{2})\cdot \ldots \cdot \textstyle \prod (A_{k})$ , ahol $\textstyle \prod$ a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg $\vee$ az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli.

Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla tagjuk legyen.

(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett teljes indukcióval történhet.)

Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt

Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.

Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról

Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a halmazműveleteket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$ (az unió „asszociativitása”) és $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$ is (a metszetképzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak műveletekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz hatványhalmazának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Megjegyzés: $(x*y)*z$ helyett egyszerűen $x*y*z$ is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például $x*y*z*u$ automatikusan így zárójelezendő: $((x*y)*z)*u$ ).
↑ E tétel az $n\geq 3$ kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt $n\leq 2$ esetében – automatikusan igaz.

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[1] Megjegyzés: $(x*y)*z$ helyett egyszerűen $x*y*z$ is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például $x*y*z*u$ automatikusan így zárójelezendő: $((x*y)*z)*u$ ).

[2] E tétel az $n\geq 3$ kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt $n\leq 2$ esetében – automatikusan igaz.

[1]

[2]

@@ 1. sor: / 1. sor: @@
 {{nincs forrás}}
-A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás'''  vagy  '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha A egy tetszőleges halmaz és *:A×A→A egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges x,y∈A elemekre a *(x,y)=c∈A helyett x*y=c); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha az A tetszőleges x,y,z elemeire teljesül:
+A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' vagy '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha <math>A</math> egy tetszőleges halmaz és <math>*\! :\ A \times A \rightarrow A</math> egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges <math>x, y \in A</math> elemekre a <math>*\!(x, y) = c \in A</math> helyett <math>x * y = c</math>); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha <math>A</math> tetszőleges <math>x, y, z</math> elemeire teljesül:<ref>Megjegyzés: <math>(x * y) * z</math> helyett egyszerűen <math>x * y * z</math> is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például <math>x * y * z * u</math> automatikusan így zárójelezendő: <math>((x * y) * z) * u</math>).</ref>
-<center> (x*y)*z = x*(y*z) &nbsp;.<ref>Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: &nbsp; (((x*y)*z)*u) &nbsp;).</ref></center>
+<math display="block">(x * y) * z = x * (y * z)</math>
 Ez a függvény- (vagy [[operátor#A prefix írásmód|prefix]]-) jelöléssel így írható:
-<center> *(*(x,y),z) = *(x,*(y,z))</center>
+<math display="block">*\!(\!*\!(x, y), z) = *\!(x, *\!(y, z)) </math>
-Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind-mind asszociatív: (a+b)+c = a+(b+c), szorzás esetében (a·b)·c = a·(b·c). (Itt a, b és c mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám)
+Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind asszociatív: <math>(a + b) + c = a + (b + c) </math>, szorzás esetében <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) </math>. (Itt <math>a, b, c </math> mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.)
-Azokat az (A,*) [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek * művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük.
+Azokat az <math>(A, *) </math> [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek <math>* </math> művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük.
 == Az általánosított asszociativitás tétele ==
 Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:
-* Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
+Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
-** Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív;
-** Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>∈A elemekre az a<sub>1</sub>*a<sub>2</sub>*…*a<sub>n</sub> :=c∈A  műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített c elemet adja; itt n∈'''[[Természetes számok|N]]'''<sup>+</sup> értelemszerűen nemnegatív  [[természetes számok]].<ref>E tétel az n&ge;3 kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n&le;2 esetében – automatikusan igaz.</ref>
-** Legyenek A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …, A<sub>k</sub>  tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor Π(A<sub>1</sub>∨A<sub>2</sub>∨…∨A<sub>k</sub>) = Π(A<sub>1</sub>) · Π(A<sub>2</sub>) · … · Π(A<sub>k</sub>), ahol Π a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg ∨ az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli.
+* Az A halmazon értelmezett <math>* </math> kétváltozós művelet asszociatív;
-[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen.
+* Tetszőleges <math>n </math> db. (nem feltétlenül különböző) <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in A </math> elemekre az <math>a_1 * a_2 * \dots * a_n := c \in A </math> műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített <math>c </math> elemet adja; itt <math>n \in \N^+ </math>.<ref>E tétel az <math>n \geq 3</math> kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt <math>n \leq 2</math> esetében – automatikusan igaz.</ref>
+* Legyenek <math>A_1, A_2, \dots, A_k </math> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor <math>\textstyle \prod(A \vee A_2 \vee \ldots \vee A_k) = \textstyle \prod(A_1) \cdot \textstyle \prod(A_2) \cdot \ldots \cdot \textstyle \prod(A_k) </math>, ahol <math>\textstyle \prod </math> a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg <math>\vee </math> az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli.
+[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla tagjuk legyen.
 (A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett [[teljes indukció]]val történhet.)
 == Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt ==
 Egy művelet asszociativitása a [[művelettábla|művelettáblájáról]] (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. [[Light-féle eljárás]].
 == Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról ==
+Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) </math> (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása”) és <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) </math> is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
+==  Lásd még ==
-Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes mind (A∪B)∪C = A∪(B∪C) (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása” és (A∩B)∩C = A∩(B∩C) is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk. Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesern kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
-== Lásd még ==
 * [[Kommutativitás]]
 * [[Disztributivitás]]