„Naiv halmazelmélet” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Math (vitalap | szerkesztései)
a naiv olvasonak adjunk az elejen valami nemtechnikai leirast
Math (vitalap | szerkesztései)
Nincs szerkesztési összefoglaló
1. sor: 1. sor:
'''Naiv halmazelmélet''' névvel a [[Cantor]] által kidolgozott első halmazelméletet nevezték el, természetsen csak azután, hogy kiderólt, hogy problematikus. Erre először [[Bertrand Russell]] jött rá, de idővel maga Cantor is erre a következtetésre jutott. Az ellentmondást [[Russell-paradoxon]] néven emlegetik. Kiküszöbölésére két áramlatba rendeződtek a megoldások. Az egyik a típuselmélet, a másik az axiomatikus halmazelmélet.
'''Naiv halmazelmélet''' névvel a [[Cantor]] és [[Dedekind]] által kidolgozott első halmazelméletet nevezték el, természetsen csak azután, hogy kiderült, hogy problematikus.

==Története=

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető. A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Erre először [[Bertrand Russell]] jött rá, de idővel maga Cantor is erre a következtetésre jutott. Az ellentmondást [[Russell-paradoxon]] néven emlegetik. Kiküszöbölésére két áramlatba rendeződtek a megoldások. Az egyik a típuselmélet, a másik az axiomatikus halmazelmélet.


[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Mások szükségesnek tartották szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.
[[Gottlob Frege]] abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Mások szükségesnek tartották szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg [[a hazug paradoxona]] mögött, a [[Gödel-féle nemteljességi tétele]]kben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.


Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit [[axiomatikus halmazelmélet]]nek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat


== Bevezetés ==
== Bevezetés ==


A '''naiv halmazelmélet''' hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha <math>T</math> valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a <math>T</math> tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a <math>T</math> tulajdonság ''igazságtartományának'' nevezzük.
A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha <math>T</math> valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a <math>T</math> tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a <math>T</math> tulajdonság ''igazságtartományának'' nevezzük.


=== Jelölés ===
=== Jelölés ===

A lap 2005. július 26., 12:13-kori változata

Naiv halmazelmélet névvel a Cantor és Dedekind által kidolgozott első halmazelméletet nevezték el, természetsen csak azután, hogy kiderült, hogy problematikus.

=Története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető. A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Erre először Bertrand Russell jött rá, de idővel maga Cantor is erre a következtetésre jutott. Az ellentmondást Russell-paradoxon néven emlegetik. Kiküszöbölésére két áramlatba rendeződtek a megoldások. Az egyik a típuselmélet, a másik az axiomatikus halmazelmélet.

Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Mások szükségesnek tartották szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Bevezetés

A naiv halmazelmélet hallgatólagos alapfeltevése volt, hogy ha valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

Jelölés

Magát a tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy . Itt az karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A tulajdonság igazságtartományát -szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon -ek összessége, melyre a tulajdonság igaz”.

Példa

Legyen  : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban kutya”. Ekkor „ kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az változó helyére például , a kutya vagy , a macska nevét helyettesítjük. Ekkor egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét:

Ki nem mondott feltételezések

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Naiv halmazelmélet úgy lett belőle, hogy Georg Cantor kimondatlanul feltételezte a következőket (ezekre a rejtett és egy ideig fel nem tárt előfeltevésekre vonatkozik a „naiv” jelző):

  1. A komprehenzivitás elve: akármilyen tulajdonság esetén, az változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a tulajdonságot.
  2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.

Cantor a menge, azaz halmaz szót használta a összesség megnevezésére. Ha valamely dolog benne van a halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: .

Problémák a naiv halmazelmélettel

Mivel az kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

azaz
, így -ben saját magát -et szerepeltetve:

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

Felhasznált irodalom

  • Robert Goldblatt, TOPOI - The categorical analysis of logic, North-Holland Publ. Co., 1984 elektronikus könyvtári formában itt
  • Ruzsa Imre - Máté András, Bevezetés a modern logikába, Osiris Kiadó, 1997.
  • Gottlob Frege, Az aritmetika alaptörvényei II., Utószó (1903), in: Gottlob Frege, Logikai vizsgálódások - Válogatott tanulmányok, szerk.: Máté András, Osiris Kiadó, 2000.