„Hatványhalmaz” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
Syp (vitalap | szerkesztései) |
||
16. sor: | 16. sor: | ||
Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math> |
Tehát <math>\mathcal{P}(H)=\big\{\emptyset, \{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\},\{a,b,c\}\big\}</math> |
||
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz |
==Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai== |
||
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz |
Cantor elméletében, a [[naiv halmazelmélet]]ben egyáltalán nem kétséges, hogy minden ''H'' halmaz esetén a <math>x\subseteq H</math> kijelentésből képezett <math>\{x\mid x\subseteq H\}</math> halmaz ''létezik.'' Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát ''hatványhalmaz-axiómának'' nevezzük. |
||
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer=== |
===Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer=== |
||
ZF-ben (és bővítéseiben) '''hatványhalmaz |
ZF-ben (és bővítéseiben) '''hatványhalmaz-axiómának''' nevezzük a következő formulát: |
||
<math>(\forall x)(\exists y)(\forall z)((z\in y)\Leftrightarrow(z\subseteq x))</math> |
<math>(\forall x)(\exists y)(\forall z)((z\in y)\Leftrightarrow(z\subseteq x))</math> |
||
25. sor: | 25. sor: | ||
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet=== |
===Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet=== |
||
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'' ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: |
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható ''T(x)'' tulajdonságra az {''x''|''T''(''x'')} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük ''halmaznak,'' hanem csak ''osztálynak.'' Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a ''H'' kifejezés ''halmaz,'' ha levezethető az <math>(\exists y)(H\in y)</math> formula. Ezt a formulát ''Set(H)''-val jelöljük és jelentése: „''H'' halmaz”. Rövidítsük az <math>\{x|x\subseteq H\}</math>-t <math>\mathcal{P}(H)</math>-val. Ekkor a '''hatványhalmaz-axióma''' a következő formula: |
||
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math> |
<math>(\forall x)(\mathcal{S}et(x)\Rightarrow\mathcal{S}et(\mathcal{P}(x))) </math> |
||
31. sor: | 31. sor: | ||
===Bourbaki-halmazelmélet=== |
===Bourbaki-halmazelmélet=== |
||
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: |
A [[Bourbaki-csoport|francia matematikuscsoport]] által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden ''A'' formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és ''x'' változó esetén <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> jelöli az <math>(\exists y)((x\in y)\Leftrightarrow A(x))</math> formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha <math>\mathcal{C}oll_x(A)</math> tétel, akkor azt mondjuk, hogy ''az A formula kollektivizáló az x változóban.'' A '''hatványhalmaz-axióma''' ekkor a következő formula: |
||
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math> |
<math>(\forall x)(\mathcal{C}oll_y(y\subseteq x))</math> |
A lap 2017. február 23., 21:01-kori változata
A halmazelméletben egy halmaz hatványhalmazának nevezzük az adott halmaz összes részhalmazainak a halmazát.
Definíció
Ha halmaz, akkor -val jelöljük és a halmaz hatványhalmazának nevezzük a összes részhalmazainak halmazát. Vagy másképpen: ahol a szimbólum a részhalmaz-reláció jele.
Példa
Ha az háromelemű halmaz, akkor részhalmazai a következők:
- nullaelemű részhalmaza az üres halmaz
- egyelemű részhalmazai az , a és a
- kételemű részhalmazai: , és
- egyetlen háromelemű részhalmaza saját maga:
Tehát
Az axiomatikus elméletek hatványhalmaz-fogalmai
Cantor elméletében, a naiv halmazelméletben egyáltalán nem kétséges, hogy minden H halmaz esetén a kijelentésből képezett halmaz létezik. Az axiomatikus elméletekben ezzel szemben ezt a tényállást axiómában kell rögzíteni. Az ilyen axiómát hatványhalmaz-axiómának nevezzük.
Zermelo–Fraenkel-axiómarendszer
ZF-ben (és bővítéseiben) hatványhalmaz-axiómának nevezzük a következő formulát:
ahol jelöli az formulát.
Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet
Az NBG-ben (lényegében) szabad képezni minden formalizálható T(x) tulajdonságra az {x|T(x)} kifejezést, csak ezt nem minden esetben nevezhetjük halmaznak, hanem csak osztálynak. Azt NBG esetén azt mondjuk, hogy a H kifejezés halmaz, ha levezethető az formula. Ezt a formulát Set(H)-val jelöljük és jelentése: „H halmaz”. Rövidítsük az -t -val. Ekkor a hatványhalmaz-axióma a következő formula:
Bourbaki-halmazelmélet
A francia matematikuscsoport által kidolgozott formális-axiomatikus halmazelméletben minden A formula (itt szintén formalizálható tulajdonságra kell gondolnunk) és x változó esetén jelöli az formulát, melynek jelentése: „az A(x) tulajdonságból halmaz képezhető (éspedig az {x|A(x)} halmaz)”. Ha tétel, akkor azt mondjuk, hogy az A formula kollektivizáló az x változóban. A hatványhalmaz-axióma ekkor a következő formula:
ahol jelöli az formulát.
Tételek a hatványhalmazról
- Tétel – Ha H véges halmaz és elemszáma az n természetes szám, akkor H hatványhalmazának számossága .
- Megjegyzés: Ez a tétel magyarázza a hatványhalmaz elnevezést, és az irodalomban néhol előforduló hatványozásra utaló jelölést.
- Tétel – (Cantor-tétel) – Bármely H halmaz esetén számossága nagyobb H számosságánál.
Jelben: .
- Tétel – A természetes számok hatványhalmazának számossága megegyezik a valós számok halmazának számosságával, azaz kontinuum-számosságú. Tömören: .
Egy hatványhalmaz több algebrai és relációs struktúra alaphalmaza is lehet.
- Állítás – Ha H halmaz, akkor a
- és (azaz rendre az unióval és a metszettel, mint műveletekkel ellátva) egységelemes, zéróelemes félcsoportok
- a -val és -val mint műveletekkel ellátva Boole-algebrát alkot
- a relációval ellátva Boole-hálót alkot.
Továbbá a mértékelmélet számára fontos tény, hogy a hatványhalmaz halmazgyűrű, sőt -algebra (szigma-algebra).
Történeti adalékok
Georg Cantor, halmazelméletének ellentmondásosságát Russelltől függetlenül saját maga is felismerte. Az általa talált Cantor-antinómia a Cantor-tételből következik. Legyen U az összes halmazok halmaza, azaz bármely H halmazra . A naiv halmazelmélet szerint bármely halmaznak van hatványhalmaza, így U-nak is. Ekkor a Cantor-tétel szerint fennáll a következő egyenlőtlenség: , ami ellentmondás.
Az ellentmondás feloldását az NBG szemléletű osztálykalkulusban tehetjük meg. Eszerint, ugyan lehet képezni a összességet, de mivel Set(U) cáfolható, azaz U nem halmaz így a Cantor-tétel, mely csak halmazokra vonatkozik nem használható fel.
Felhasznált irodalom
Bourbaki halmazelméletéről
- Kristóf János, Az analízis logikai alapjai, ELTE jegyzet, 1998.
(A matematika logikai megalapozása Bourbaki szerint, Kristóf János kitűnő tolmácsolásában. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Kristóf János, Az analízis elemei I., ELTE jegyzet, 1996.
(A halmazelmélet és az analízis megalapozása Bourbaki szerint. A teljes szöveg elektronikus formában itt.)
- Nikolas Bourbaki, Théorie des Ensembles, de la collection éléments de Mathématique, Hermann, Paris 1970. (gyakran orosz kiadásban: Tyeorija mnozsensztvo)
- Cikk a Bourbaki-csoportról