Naiv halmazelmélet

Bevezetés

A naiv halmazelmélet abból indul ki, hogy ha $T$ valamilyen tulajdonság, akkor gondolhatunk mindazon dolgok összességére, melyekre a $T$ tulajdonság teljesül. Ezt az összességet a $T$ tulajdonság igazságtartományának nevezzük.

Jelölés

Magát a $T$ tulajdonságot gyakran funkcionális jelölésmódban úgy jelöljük, hogy $T(x)$. Itt az $x$ karaktert változónak nevezzük és azt jelképezi, hogy a $T(x)$ kifejezés nyitott mondat, igazságértéke még nem értelmezhető. Zárt kijelentő mondat – azaz olyan, melynek létezik igaz vagy hamis értéke – csak akkor lesz belőle, ha az $x$ változó helyére valamilyen dolog nevét helyettesítjük.

A $T(x)$ tulajdonság igazságtartományát $\{x\mid T(x)\}$-szel jelöljük és úgy mondjuk ki, hogy „azon $x$-ek összessége, melyre a $T(x)$ tulajdonság igaz”.

Példa

Legyen $T$ : „kutya” . Funkcionális jelölésmódban $T(x):$ „$x$ kutya”. Ekkor „$x$ kutya” még nyitott mondat, zártat úgy képezhetünk belőle, ha az $x$ változó helyére például $Buksi$, a kutya vagy $Cirmi$, a macska nevét helyettesítjük. Ekkor $T(Buksi)$ egy, a valóságnak megfelelő állapotot leíró, tehát igaz mondat, míg $T(Cirmi)$ nem felel meg a valóságnak, így hamis. Végeredményben képezhetjük a kutyák összességét: $\{x\mid T(x)\}=\{x\mid x{\mbox{ kutya}}\}$

Ki nem mondott feltételezések

Eddigi fejtegetésünk a logikai grammatika témakörébe tartozik és legfeljebb az „igaznak lenni” minősítés homályos értelmezése felől támadható. Naiv halmazelmélet úgy lett belőle, hogy Georg Cantor kimondatlanul feltételezte a következőket (ezekre a rejtett és egy ideig fel nem tárt előfeltevésekre vonatkozik a „naiv” jelző):

1. A komprehenzivitás elve: akármilyen $T(x)$ tulajdonság esetén, az $x$ változó helyére minden dolog nevét írhatjuk, és összegyűjthetjük az $\{x\mid T(x)\}$ szimbólum alá az összes olyan dolgot mely teljesíti a $T(x)$ tulajdonságot.
2. Az extenzionalitás elve: Két összesség akkor és csak akkor egyenlő, ha elemeik megyegyeznek.

Cantor a menge, azaz halmaz szót használta a $\{x\mid T(x)\}$ összesség megnevezésére. Ha valamely $a$ dolog benne van a $\{x\mid T(x)\}$ halmazban, akkor ezt szimbolikusan így jelöljük: $a\in \{x\mid T(x)\}$.

Problémák a naiv halmazelmélettel

A naiv halmazelmélet ellentmondásosnak bizonyult, erre először Bertrand Russell jött rá, de idővel maga Cantor is erre a következtetésre jutott. Az ellentmondást Russell-paradoxon néven emlegetik. Kiküszöbölésére két áramlatba rendeződtek a megoldások. Az egyik a típuselmélet, a másik az axiomatikus halmazelmélet.

Gottlob Frege abban látta az ellentmondás fellépésének okát, hogy az összességekre – úgy tűnik – nem áll a kizárt harmadik elve. Mások szükségesnek tartották szigorúan megkülönböztetni a dologkat, a dolgok összességeitől. A Russell-paradoxon mindazonáltal a következők miatt lép fel. Ellentmondások hátterében gyakran az önmaguk igazságára hivatkozó mondatok állnak. Ez húzódik meg a hazug paradoxona mögött, a Gödel-féle nemteljességi tételekben és ez ad alapot a hatványhalmaz számosságára vonatkozó tétel (a Cantor-tétel) fennállására.

Mivel az $x\notin x$ kijelentésben összességek is szerepelhetnek és az összességeket egyértelműen meghatározza a definiáló tulajdonságuk, így a $x\notin x$ kijelentésből könnyen csinálhatunk saját magára hivatkozó mondatot:

$R=\{x\mid x\notin x\}$ azaz

$x\in R\Leftrightarrow x\notin x$, így $x$-ben saját magát $R$-et szerepeltetve:

$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$

Ez utóbbi módszert, amikor egy tulajdonság változójának helyébe magát a tulajdonságot (pontosabban annak megnevezését) helyettesítjük, Cantor-féle átlós eljárásnak nevezzük. A sors fintora, hogy Cantor halmazelméletén pont a saját maga által először alkalmazott eljárás segítségével tudott Russell rést ütni.

Felhasznált irodalom

• Robert Goldblatt, TOPOI - The categorical analysis of logic, North-Holland Publ. Co., 1984 elektronikus könyvtári formában itt