Mechanikai munka

Fasz a fizika

A mechanikai munka (szokásos jele: W vagy A; work angol és az arbeit német munka szavakból) az az energiamennyiség, amely egy anyagi pontot (vagy merev testet) erő segítségével adott távolságra elmozdít. SI mérték egysége a J (joule) .

Kiszámítása

A munkát állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámítani:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} =F\cdot s\cdot \cos \alpha$,

ahol

• F az erő,
• s a FASZ A FIZIKA

Változó (nagyságú és/vagy irányú) erő munkáját úgy számítjuk ki, hogy az így befutott pályát olyan kis szakaszokra osztjuk, amelyeken az erő változatlannak vehető, és ezeken a kis szakaszok mindegyikén számítjuk ki a munkavégzést és végül összegezzük. Pontos eredményt az erő út menti integrálása adja:

$W=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {s}$.

Ekvivalens ezzel a következő képlet, amennyiben ismertek a fizikai mennyiségek t időtől való függése - az elmozdulást okozó $\mathbf {F}$ erő adott időintervallum alatt végzett munkája:

$W_{12}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \;\mathrm {d} t$,

ahol

• F = F(t) az erő,
• v = v(t) az erő támadáspontjában lévő anyagi pont sebessége,
• $t_{1}$ a kezdő időpont és
• $t_{2}$ a végső időpont.

A munka skaláris mennyiség, értéke lehet pozitív is, negatív is.

Nem minden erő végez munkát. Például a centripetális erő az egyenletes körmozgásban nem végez munkát; a mozgást végző test sebessége állandó marad. Ezt be lehet bizonyítani a képletből: az erő vektora merőleges az elmozdulásra, a skaláris szorzatuk nulla.

Mértékegység

Az SI mértékegységrendszerben a munka mértékegysége a joule, amely szerint 1 joule egyenlő azzal a munkával, ami egy testet egy newton erő által 1 méter távolságra mozdít el.

Egyszerűbb képletek

Elemi munka

A legegyszerűbb esetben a test ugyanabban az irányban mozog, a ráható erő párhuzamos a mozgás irányával, akkor

$W=Fs\;$

ahol:

• F a ráható erő
• s a test által megtett távolság

A munka negatív, amikor az erő ellentétes a mozgásiránnyal. Általánosítva, az erő és a távolság vektorként van kezelve, és a munka a kettejük skaláris szorzata:

$W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$

Ez a képlet akkor is igaz, ha az erő egy bizonyos szögben hat a mozgásirányhoz képest. Ha tovább akarjuk általánosítani a képletet, azokban az esetekben, amikor az erő és a mozgásirány változik, differenciálegyenletet kell használnunk:

$dW=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s}$

Az egyenlet kétoldali integrálásából megkapjuk az általános (legelső) képletet.

Levezetés

Állítás:
A mechanikai munka (W) egyenlő a testre ható eredő erő (F) által megváltoztatott kinetikus energiaváltozás (ΔKE) nagyságával.

Algebrával egydimenziós esetben

A következő bizonyításban állandó nagyságú erőhatást feltételezünk, és továbbá azt hogy (F) erő az eredő erő. Newton második törvényéből tudjuk, hogy ha egy testet időben állandó nagyságú (F) erőhatás ér, akkor az állandó (a) gyorsulást eredményez.

$F=ma\ \Rightarrow \ a={\frac {F}{m}}$

(1)

Ha egy test állandó gyorsulásnak van kitéve, akkor a test sebességének változását a következő kinematikai egyenlet adja meg:

$v^{2}=v_{0}^{2}+2as\ \Rightarrow \ v^{2}=v_{0}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(2)

Ahol (s) a megtett út hossza. Jelöljük a test kezdeti sebességét $v_{1}$, és az erő megszűnte után, a test új, megváltozott sebességét $v_{2}$ alsóindexekkel.

$v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2{\frac {F}{m}}s$

(3)

A fenti egyenletet átrendezve a jobb oldalon izolálhatjuk az erőt, így az egyenletet a következő alakban írhatjuk fel.

${\frac {m}{2}}v_{2}^{2}\ -\ {\frac {m}{2}}v_{1}^{2}=F\cdot s$

(4)

Megkaptuk tehát a bal oldalon a végső és a kezdeti kinetikus energiákat, ezek különbsége pedig egyenlő az erő és a távolság szorzatával ami nem más mint a mechanikai munka (W) a jobb oldalon. A kinetikus energiákat a megszokott alakra írva:

${\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}\ -\ {\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=F\cdot s$

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő a mechanikai munkával.

$\Delta KE=KE_{2}-KE_{1}=W$

(6)

Algebrával kétdimenziós esetben

Ez az eset csak nem sokban különbözik az egydimenziós esettől, csak szemléltetésként szeretném megmutatni, miként általánosítható az egydimenziós eset, kettő vagy akár több dimenzióra. Mivel két dimenzióval tárgyalunk, a vektorok –mint (v) sebesség– két komponensel (x,y) rendelkeznek. Két dimenzió esetén a kinetikus energia a következő módon határozható meg:

$KE={\frac {1}{2}}m{\vec {v^{2}}}={\frac {1}{2}}m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2})$

(1)

Keressük meg azt a formulát ami megadja a kinetikus energia változásának ütemét. Ez pedig nem más mint a kinetikus energia idő szerinti első deriváltja.

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}={\frac {m}{2}}\left(2v_{x}{\frac {dv_{x}}{dt}}+2v_{y}{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)$

(2)

Átalakítva a képletet a következő alakot kapjuk:

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}=\left(m{\frac {dv_{x}}{dt}}\right)v_{x}+\left(m{\frac {dv_{y}}{dt}}\right)v_{y}$

(3)

Mivel ${\frac {dv_{x}}{dt}}$ nem más mint a gyorsulás. A kinetikus energia változásának üteme tehát egyenlő az erő és a sebesség szorzatával, ami nem más mint a mechanikai teljesítmény.

${\frac {\Delta KE}{\Delta t}}=F_{x}v_{x}+F_{y}v_{y}$

(4)

Mivel (v) sebesség nem más mint a pozíció idő szerinti első deriváltja azaz: $v_{x}={\frac {dx}{dt}}$ Megszorozva most mindkét oldalt az idővel, megkapjuk a megtett távolságot.

$\Delta KE=F_{x}dx+F_{y}dy$

(5)

Tehát a kinetikus energia változása egyenlő az eredő erő által végzett munkával

$\Delta KE=\Delta W$

(6)

---

A fenti levezetésben külön feltüntettem a sebességvektorok komponenseit mert úgy vélem így érthetőbb a levezetés. Ha két vektor (x) komponenseit megszorozzuk, és összeadjuk a vektorok (y) irányú komponenseinek összegével az nem más mint a két vektor skaláris szorzata amit ${\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$ vel szoktak jelölni.

$A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}={\vec {A}}\cdot {\vec {B}}$

Ezért a mechanikai munkát vektorjelölést használva gyakran integrál alakjában fejezzük ki:

$\Delta W=\int {\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}$

ahol ${\vec {r}}$ az elmozdulás vektora.

Egyéb munkaformák

A nem mechanikus munka formái, mint például az elektromos munka, ennek az elvnek egy különleges esetét képezik: például az elektromosság esetében a munkát az elektromos tér végzi el a közegen áthaladó elektromosan töltött részecskéken - vagy az elektromos tér ellenében kell elvégezni a munkát más erőkkel a töltött részecskéken. (Továbbiakért lásd: munka.)

További információk

• Sulinet: Munka
• Pannon Egyetem Mérnöki Kar (Veszprém), Fizika I., 5. Munka és energia
• 3. fejezet: Mechanikai munka in: Kidolgozott fizikatételek az érettségire