„Csoporthatás” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
nincs szerkesztési összefoglaló
A matematikában általában azt mondjuk, hogy egy csoport '''hat''' egy téren vagy halmazon, ha a ható csoport megfeleltethető a halmaz transzformációinak valamely részcsoportjával. A csoporthatások egy objektum szimmetriáinak a vizsgálatának igen hatékony segédeszközéül szolgálnak, ugyanakkor a struktúrák invariánsainak a megkeresésében is kapóra jöhetnek, mint például bizonyos topologikus terek fundamentális csoportjának a kiszámításakor.
 
==Definíció==
''G'' csoport (balról) hat ''X'' halmazon, ha ''G'' minden eleme egy
Teljesül az alábbi asszociativitás:
:<math>\varphi(\psi x) =(\varphi\psi) x \;\;(\forall x \in X)(\forall \varphi,\psi \in G )</math>
 
==Pálya és stabilizátor==
Ha ''G'' hat ''X''-en, akkor valamely ''X''-beli ''x'' pont '''pályáján''', avagy '''orbitján'''
:<math>\pi'=\pi\sigma</math>, azaz
:<math>\pi'\in\pi S_x</math>.
Így ''x'' stabilizátorának minden [[Mellékosztály|mellékosztályamellékosztály]]a ''x'' pályájának egy elemének az ősképe. Ebből következik, hogy <math>S_x</math> indexe ''x'' pályájának az elemszáma. Ezt beírva Lagrange tételébe, kapjuk a következő, pálya-stabilizátor tétel néven ismert azonosságot:
:<math> |Gx|\cdot |S_x|=|G|</math>.
Ha két pont stabilizátora [[Belsőbelső automorfizmus|konjugált]], akkor azt mondjuk, hogy hasonló a pályájuk.
 
===Burnside-lemma===

Navigációs menü