„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
aNincs szerkesztési összefoglaló
a átfogalmazás (+kell még az angol?)
65. sor: 65. sor:
'''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)
'''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)


[[NB]].: Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.
Figyelem! Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.

<!--
<!--

We now discuss each of these steps in more detail.
We now discuss each of these steps in more detail.


92. sor: 94. sor:


'''NB.''' This sketch glosses over some details. One has to be careful about the set of points on the sphere which happen to lie on an axis of rotation of some matrix in '''H'''. On the one hand, there are countably many such points so they "do not matter", and on the other hand it is possible to patch up even those points. The same applies to the center of the ball.
'''NB.''' This sketch glosses over some details. One has to be careful about the set of points on the sphere which happen to lie on an axis of rotation of some matrix in '''H'''. On the one hand, there are countably many such points so they "do not matter", and on the other hand it is possible to patch up even those points. The same applies to the center of the ball.

-->
-->



A lap 2014. december 29., 23:39-kori változata

A Banach–Tarski-paradoxon „szemléltetése”. Egy gömböt fel lehet darabolni olyan darabokra, hogy abból két, ugyanakkora gömb rakható össze

A (Hausdorff–)Banach–Tarski-paradoxon egy bizonyított matematikai tétel, mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeállítani.

A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.

Szabatos leírás

A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: és olymódon, hogy minden i-re, egybevágó -vel. Ily módon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:

Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.

Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:

A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.


A bizonyítás vázlata

A bizonyítás négy lépésből áll:

  1. A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
  2. A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
  3. Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
  4. Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.

A bizonyítás lépései részletesen:

1. lépés Az a és b által generált szabad csoport álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az a, a−1, b és b−1 karakterekből áll, úgy hogy a nincs a−1, és b nincs b−1 mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az egységelemmel helyettesítjük). Pl. abab−1a−1 összefűzve a abab−1a-val abab−1a−1abab−1a-t eredményezi, amiből b−1a−1ab törlése után abaab−1a marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével csoport az üres karakter egységelemmel. Ezt a csoportot -nek nevezzük.

A S(a−1) halmaz és a aS(a−1) halmaz a Cayley-gráfján F2-nek

-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra: S(a) legyen az a-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk S(a−1), S(b) és S(b−1)-et is. Tehát:

Hasonlóan igaz:

, és
.

A a S(a−1) jelentése, hogy minden S(a−1)-beli sztringet balról összefűzünk a-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: -t négy részhalmara osztjuk – S(a), S(a−1), S(b) és S(b−1) – (az ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” S(a−1)-t és S(b−1)-t rendre a-val és b-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a -t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.

2. lépés A 3 dimenzióban a -höz hasonlóan viselkedő (vele izomorf) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, A-t és B-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy A és B pont úgy viselkedik, mint a és b, így az A és B által generált csoport izomorf -vel. Az A és B forgatások által generált csoportot nevezzük H-nak. Természetesen így már H paradox felbontása is megvan.

3. lépés Az S2 egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel H segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha H-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a kiválasztási axiómát alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen M. Így minden S2 beli pontot pontosan egyféleképpen tudunk elérni H egy-egy forgatását alkalmazva M elemeire, és ezért H paradox felbontása „továbbadódott” S2-nek.

4. lépés Végül, kössük össze S2 felületi pontjait az origóval, így S2, azaz az egységgömb felülete helyett az egységgömb mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)

Figyelem! Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.


További információk