„Banach–Tarski-paradoxon” változatai közötti eltérés

Laptörténet interaktív böngészése

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

VizuálisWikiszöveges

Sorban

A lap 2014. július 15., 01:42-kori változata

A (Hausdorff–)Banach–Tarski-paradoxon egy bizonyított matematikai tétel, mely szerint egy 3 dimenziós, tömör gömböt a kiválasztási axióma felhasználásával fel lehet vágni véges sok olyan (nem mérhető) darabra, amelyekből két, az eredeti gömbbel megegyező méretű tömör gömböt lehet összeállítani.

A paradoxont Stefan Banach és Alfred Tarski bizonyította be 1924-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és érvényes tételként jegyzik. Így ez a bizonyítás csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.

A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak mérhető darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag kvantumos szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.

Szabatos leírás

A háromdimenziós euklideszi tér A és B részhalmazát átdarabolhatónak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: $A=\cup _{i=1}^{n}A_{i}$ és $B=\cup _{i=1}^{n}B_{i}$ olymódon, hogy minden i-re, $A_{i}$ egybevágó $B_{i}$ -vel. Ily módon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:

Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.

Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:

A 3-dimenziós euklideszi tér bármely két belső ponttal rendelkező, korlátos részhalmaza egymásba átdarabolható.

A bizonyítás vázlata

A bizonyítás négy lépésből áll:

A két elemmel generált szabad csoport paradox felbontása.
A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal izomorf csoportot generálnak.
Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a kiválasztási axióma segítségével).
Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.

A bizonyítás lépései részletesen:

1. lépés Az a és b által generált szabad csoport álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az a, a⁻¹, b és b⁻¹ karakterekből áll, úgy hogy a nincs a⁻¹, és b nincs b⁻¹ mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az egységelemmel helyettesítjük). Pl. abab⁻¹a⁻¹ összefűzve a abab⁻¹a-val abab⁻¹a⁻¹abab⁻¹a-t eredményezi, amiből b⁻¹a⁻¹ab törlése után abaab⁻¹a marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével csoport az üres karakter $e$ egységelemmel. Ezt a csoportot $F_{2}$ -nek nevezzük.

$F_{2}$ -t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra: S(a) legyen az a-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk S(a⁻¹), S(b) és S(b⁻¹)-et is. Tehát:

F_{2}={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})

Hasonlóan igaz:

F_{2}=aS(a^{-1})\cup S(a)

, és

F_{2}=bS(b^{-1})\cup S(b)

.

A a S(a⁻¹) jelentése, hogy minden S(a⁻¹)-beli sztringet balról összefűzünk a-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: $F_{2}$ -t négy részhalmara osztjuk – S(a), S(a⁻¹), S(b) és S(b⁻¹) – (az $e$ ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” S(a⁻¹)-t és S(b⁻¹)-t rendre a-val és b-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a $F_{2}$ -t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.

2. lépés A 3 dimenzióban a $F_{2}$ -höz hasonlóan viselkedő (vele izomorf) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, A-t és B-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy A és B pont úgy viselkedik, mint a és b, így az A és B által generált csoport izomorf $F_{2}$ -vel. Az A és B forgatások által generált csoportot nevezzük H-nak. Természetesen így már H paradox felbontása is megvan.

3. lépés Az S² egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel H segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha H-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a kiválasztási axiómát alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen M. Így minden S² beli pontot pontosan egyféleképpen tudunk elérni H egy-egy forgatását alkalmazva M elemeire, és ezért H paradox felbontása „továbbadódott” S²-nek.

4. lépés Végül, kössük össze S² felületi pontjait az origóval, így S², azaz az egységgömb felülete helyett az egységgömb mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)

NB.: Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.

További információk

Beke Tibor: Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról, Középiskolai Matematikai Lapok, 1989/11
Laczkovich Miklós: Sejtés és bizonyítás, Typotex, 1998, ISBN 9637546898
Stan Wagon: The Banach-Tarski Paradox, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 24, 1985.
Leonard M. Wapner: The pea and the sun, A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2

@@ 5. sor: / 5. sor: @@
 A [[paradoxon]]t [[Stefan Banach]] és [[Alfred Tarski]] bizonyította be [[1924]]-ben. Banach és Tarski ezt a bizonyítást annak szemléltetésére szánta, hogy a kiválasztási axióma helytelen. Ma azonban a matematikusok a bizonyítást helyesnek fogadják el, és nem az axiómát vetik el, hanem az eredményt elfogadják és érvényes [[tétel]]ként jegyzik. Így ez a [[matematikai bizonyítás|bizonyítás]] csupán egy antiintuitív eredményt ad, és az intuíciónk tévedhetőségét illusztrálja.
-A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő  átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak [[Mértékelmélet (matematika)|mérhető]] darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag [[kvantummechanika|kvantumos]] szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.
+A paradoxon feloldásához azt kell figyelembe vennünk, hogy ami paradoxnak tűnik, az az, hogy a két gömb térfogata kétszer akkora, mint az egy gömb térfogata, az átdarabolás pedig „normális” esetben térfogattartó. Azonban a tételben szereplő átdarabolás nem mérhető darabokat ad, ez az oka annak, hogy a térfogat a művelet során nem marad meg. Fizikai értelemben nem volna lehetséges ez az átdarabolás, hiszen a valóságban csak [[Mértékelmélet (matematika)|mérhető]] darabokat tudunk létrehozni. (Az anyag [[kvantummechanika|kvantumos]] szerkezete egyébként is lehetetlenné tenné az átdarabolást.) Így tehát senki nem tud meggazdagodni egy aranygömb két aranygömbbé való átdarabolásával a tétel segítségével.
 == Szabatos leírás ==
-A háromdimenziós [[euklideszi tér]] ''A'' és ''B'' részhalmazát '''átdarabolható'''nak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: <math>A=\cup_{i=1}^n A_i</math> és <math>B=\cup_{i=1}^n B_i</math> olymódon, hogy minden ''i''-re, <math>A_i</math>  [[egybevágóság|egybevágó]] <math>B_i</math>-vel. Ily módon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:
+A háromdimenziós [[euklideszi tér]] ''A'' és ''B'' részhalmazát '''átdarabolható'''nak nevezzük, ha felbonthatók diszjunkt részhalmazok egyesítésére: <math>A=\cup_{i=1}^n A_i</math> és <math>B=\cup_{i=1}^n B_i</math> olymódon, hogy minden ''i''-re, <math>A_i</math> [[egybevágóság|egybevágó]] <math>B_i</math>-vel. Ily módon a paradoxon a következőképpen fogalmazható meg:
 :Az egységgömb átdarabolható két egységgömbbé.
 Öt résszel meg lehet ezt tenni, kevesebbel nem. A paradoxonnak van egy erősebb változata:
@@ 18. sor: / 18. sor: @@
 <!--
-In other words, a marble could be cut up into finitely many pieces and reassembled into a planet, or a telephone could be transformed into a water lily. These transformations are not possible with real objects made of a finite number of [[atoms]] and bounded volumes, but it is possible with their geometric shapes.  The Banach–Tarski paradox is made somewhat less bizarre by pointing out that there is always a function that can map one-to-one the points in one shape to another.  For example, two balls can be transformed [[bijection|bijectively]] to a similarly infinite subset of itself (such as one ball).  Likewise, we can make one ball into a larger or smaller ball by simply multiplying the radius of each point in the ball, using [[spherical coordinates]], by a constant.  However, such transformations in general are non-isometric or involve an [[countable set|uncountably]] infinite number of pieces.  The surprising consequence of the Banach-Tarski paradox is that it can be done with only rotation and translation (isometric mapping) of a finite number of pieces.
+In other words, a marble could be cut up into finitely many pieces and reassembled into a planet, or a telephone could be transformed into a water lily. These transformations are not possible with real objects made of a finite number of [[atoms]] and bounded volumes, but it is possible with their geometric shapes. The Banach–Tarski paradox is made somewhat less bizarre by pointing out that there is always a function that can map one-to-one the points in one shape to another. For example, two balls can be transformed [[bijection|bijectively]] to a similarly infinite subset of itself (such as one ball). Likewise, we can make one ball into a larger or smaller ball by simply multiplying the radius of each point in the ball, using [[spherical coordinates]], by a constant. However, such transformations in general are non-isometric or involve an [[countable set|uncountably]] infinite number of pieces. The surprising consequence of the Banach-Tarski paradox is that it can be done with only rotation and translation (isometric mapping) of a finite number of pieces.
-What makes the paradox possible is that the pieces are infinitely convoluted.  Technically, they are not [[Lebesgue measure|measurable]], and so they do not have "reasonable" [[Boundary (topology)|boundaries]] or a "volume" in the ordinary sense.  It is impossible to carry out such a disassembly physically because disassembly "with a knife" can create only measurable sets.  This pure existence statement in mathematics points out that there are many more sets than just the measurable sets familiar to most people.
+What makes the paradox possible is that the pieces are infinitely convoluted. Technically, they are not [[Lebesgue measure|measurable]], and so they do not have "reasonable" [[Boundary (topology)|boundaries]] or a "volume" in the ordinary sense. It is impossible to carry out such a disassembly physically because disassembly "with a knife" can create only measurable sets. This pure existence statement in mathematics points out that there are many more sets than just the measurable sets familiar to most people.
-The paradox also holds in all dimensions higher than three.  It does not hold for subsets of the [[Euclidean plane]].  (The statement above does not apply to a two-dimensional subset of three-dimensional space, since such a subset would have empty interior.)  Still, there are some paradoxical decompositions in the plane: a [[disc (mathematics)|disc]] can be cut into finitely many pieces and reassembled to form a solid square of equal area; see [[Tarski's circle-squaring problem]].
+The paradox also holds in all dimensions higher than three. It does not hold for subsets of the [[Euclidean plane]]. (The statement above does not apply to a two-dimensional subset of three-dimensional space, since such a subset would have empty interior.) Still, there are some paradoxical decompositions in the plane: a [[disc (mathematics)|disc]] can be cut into finitely many pieces and reassembled to form a solid square of equal area; see [[Tarski's circle-squaring problem]].
 The paradox shows that it is impossible to define "volume" on all bounded subsets of Euclidean space such that equi-decomposable sets will have equal volume.
@@ 28. sor: / 28. sor: @@
 The proof is based on the earlier work of [[Felix Hausdorff]], who found a [[Hausdorff paradox|closely related paradox]] 10 years earlier; in fact, the Banach–Tarski paradox is a simple corollary of the technique developed by Hausdorff.
-Logicians most often use the term "paradox" for a statement in logic which creates problems because it causes contradictions, such as the [[Liar paradox]] or [[Russell's paradox]].  The Banach–Tarski paradox is not a paradox in this sense but rather a proven theorem; it is a paradox only in the sense of being counter-intuitive.  Because its proof prominently uses the [[axiom of choice]], this counter-intuitive conclusion has been presented as an argument against adoption of that axiom.
+Logicians most often use the term "paradox" for a statement in logic which creates problems because it causes contradictions, such as the [[Liar paradox]] or [[Russell's paradox]]. The Banach–Tarski paradox is not a paradox in this sense but rather a proven theorem; it is a paradox only in the sense of being counter-intuitive. Because its proof prominently uses the [[axiom of choice]], this counter-intuitive conclusion has been presented as an argument against adoption of that axiom.
 -->
@@ 36. sor: / 36. sor: @@
 # A két elemmel generált [[szabad csoport]] paradox felbontása.
 # A háromdimenziós tér két olyan, origó körüli forgatásának megadása, amelyek a két elemmel generált szabad csoporttal [[izomorfizmus|izomorf]] csoportot generálnak.
 # Az egységgömb felszínének paradox felbontása (a [[kiválasztási axióma]] segítségével).
 # Befejezés: a felszín felbontásának kiterjesztése a tömör gömb paradox felbontásává.
 A bizonyítás lépései részletesen:
-'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' és ''b''<sup>−1</sup> karakterekből áll, úgy hogy ''a'' nincs ''a''<sup>−1</sup>, és ''b'' nincs ''b''<sup>−1</sup> mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az [[egységelem]]mel helyettesítjük). Pl. ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> összefűzve a ''abab''<sup>−1</sup>''a''-val ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a''-t eredményezi, amiből ''b''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''ab'' törlése után ''abaab''<sup>−1</sup>''a'' marad.  A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével [[csoport]] az üres karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
+'''1. lépés''' Az ''a'' és ''b'' által generált [[szabad csoport]] álljon az összes véges sztringből (karakterláncból), ami az ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' és ''b''<sup>−1</sup> karakterekből áll, úgy hogy ''a'' nincs ''a''<sup>−1</sup>, és ''b'' nincs ''b''<sup>−1</sup> mellett. Két ilyen karakterláncot úgy lehet összefűzni, hogy egymás mögé írjuk őket, majd a „tiltott” karaktereket kitöröljük (az [[egységelem]]mel helyettesítjük). Pl. ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> összefűzve a ''abab''<sup>−1</sup>''a''-val ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a''-t eredményezi, amiből ''b''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''ab'' törlése után ''abaab''<sup>−1</sup>''a'' marad. A karakterláncok ezen halmaza az összefűzés műveletével [[csoport]] az üres karakter <math>e</math> egységelemmel. Ezt a csoportot <math>F_2</math>-nek nevezzük.
-[[Fájl:Paradoxical decomposition F2.svg|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz a [[Cayley-gráf]]ján  ''F''<sub>2</sub>-nek]]
+[[Fájl:Paradoxical decomposition F2.svg|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz a [[Cayley-gráf]]ján ''F''<sub>2</sub>-nek]]
 <math>F_2</math>-t a következőképpen bontjuk „paradox módon” diszjunkt halmazokra:
 ''S''(''a'') legyen az ''a''-val kezdődő sztringek halmaza, és hasonló módon definiáljuk ''S''(''a''<sup>−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1</sup>)-et is. Tehát:
 :<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
 Hasonlóan igaz:
 :<math>F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)</math>, és
@@ 57. sor: / 57. sor: @@
 :<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
-A ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) jelentése, hogy  minden ''S''(''a''<sup>−1</sup>)-beli sztringet balról összefűzünk ''a''-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt:  <math>F_2</math>-t négy részhalmara osztjuk – ''S''(''a''),  ''S''(''a''<sup>−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1</sup>) – (az <math>e</math> ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” ''S''(''a''<sup>−1</sup>)-t és ''S''(''b''<sup>−1</sup>)-t rendre ''a''-val és ''b''-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a  <math>F_2</math>-t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.
+A ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) jelentése, hogy minden ''S''(''a''<sup>−1</sup>)-beli sztringet balról összefűzünk ''a''-val. Ez a bizonyítás egyik kulcsmomentuma. Most tekintsük a következőt: <math>F_2</math>-t négy részhalmara osztjuk – ''S''(''a''), ''S''(''a''<sup>−1</sup>), ''S''(''b'') és ''S''(''b''<sup>−1</sup>) – (az <math>e</math> ezekben nincs benne, de ezzel ne foglakozzunk, mert a továbbiakban nem lesz jelentősége), aztán „eltoljuk” ''S''(''a''<sup>−1</sup>)-t és ''S''(''b''<sup>−1</sup>)-t rendre ''a''-val és ''b''-vel való szorzással, majd képezzük az egyenlőségek szerinti uniókat, azaz elértük hogy a <math>F_2</math>-t létrehozzuk a 4 részhalmazból kétféleképpen, csupán 2-2 uniójával. Pont ez az, amit a gömbökkel akarunk csinálni.
 '''2. lépés''' A 3 dimenzióban a <math>F_2</math>-höz hasonlóan viselkedő (vele [[izomorf]]) csoporthoz tekintsük a 3 dimenziós térben 2 egymásra merőleges tengelyt (legyen az x és z tengely) és az ezek körüli – π irracionális többszörösével (pl. arccos(1/3)) való – elforgatásokat, ''A''-t és ''B''-t. (A 2 dimenziós tér túl „szűk” ehhez, mert ott csak egy tengelyt tudunk választani, így csoportunk kommutatív lenne.) Könnyen belátható, hogy ''A'' és ''B'' pont úgy viselkedik, mint ''a'' és ''b'', így az ''A'' és ''B'' által generált csoport izomorf <math>F_2</math>-vel. Az ''A'' és ''B'' forgatások által generált csoportot nevezzük '''H'''-nak. Természetesen így már '''H''' paradox felbontása is megvan.
 '''3. lépés''' Az ''S''<sup>2</sup> egységgömbfelületet a következőképpen bontjuk fel '''H''' segítségével: az egységgömb felületének két pontja akkor, és csak akkor tartozik ugyanazon részhez, ha '''H'''-nak pontosan egy olyan forgatása van, ami az elsőt a másodikba viszi. Most a [[kiválasztási axióma|kiválasztási axiómát]] alkalmazva ki tudunk minden részből választani pontosan egy pontot, ezen pontok halmaza legyen ''M''. Így minden ''S''<sup>2</sup> beli pontot pontosan egyféleképpen tudunk elérni '''H''' egy-egy forgatását alkalmazva ''M'' elemeire, és ezért '''H''' paradox felbontása „továbbadódott” ''S''<sup>2</sup>-nek.
@@ 65. sor: / 65. sor: @@
 '''4. lépés''' Végül, kössük össze ''S''<sup>2</sup> felületi pontjait az origóval, így ''S''<sup>2</sup>, azaz az egységgömb ''felülete'' helyett az ''egységgömb'' mínusz az origó paradox felbontását kapjuk meg. (Azt, hogy a teljes egységgömböt hogyan lehet felbontani, itt nem részletezzük.)
-[[NB]].:Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.
+[[NB]].: Ez a vázlat átugrik néhány részlet fölött.
 <!--
 We now discuss each of these steps in more detail.
-'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' and ''b''<sup>−1</sup> such that no ''a'' appears directly next to an ''a''<sup>−1</sup> and no ''b'' appears directly next to a ''b''<sup>−1</sup>. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> concatenated with ''abab''<sup>−1</sup>''a'' yields ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a'', which gets reduced to ''abaab''<sup>−1</sup>''a''.  One can check that the set of those strings with this operation forms a group with neutral element the empty string <math>e</math>. We will call this group <math>F_2</math>.
+'''Step 1.''' The free group with two generators ''a'' and ''b'' consists of all finite strings that can be formed from the four symbols ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' and ''b''<sup>−1</sup> such that no ''a'' appears directly next to an ''a''<sup>−1</sup> and no ''b'' appears directly next to a ''b''<sup>−1</sup>. Two such strings can be concatenated and converted into a string of this type by repeatedly replacing the "forbidden" substrings with the empty string. For instance: ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup> concatenated with ''abab''<sup>−1</sup>''a'' yields ''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>''abab''<sup>−1</sup>''a'', which gets reduced to ''abaab''<sup>−1</sup>''a''. One can check that the set of those strings with this operation forms a group with neutral element the empty string <math>e</math>. We will call this group <math>F_2</math>.
 [[Fájl:Paradox felbontás F2.png|bélyegkép|jobbra|250px|A ''S''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz és a ''aS''(''a''<sup>−1</sup>) halmaz ''F''<sub>2</sub>-nek a [[Cayley ábra]]ján]]
@@ 77. sor: / 77. sor: @@
 :<math>F_2={e}\cup S(a)\cup S(a^{-1})\cup S(b)\cup S(b^{-1})</math>
 but also
 :<math>F_2=aS(a^{-1})\cup S(a)</math>, and
@@ 83. sor: / 83. sor: @@
 :<math>F_2=bS(b^{-1})\cup S(b)</math>.
-(The notation ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) means take all the strings in ''S''(''a''<sup>−1</sup>) and concatenate them on the left with ''a''.) Make sure that you understand this last line, because it is at the core of the proof.  Now look at this: we cut our group <math>F_2</math> into four pieces (Forget about <math>e</math> for now, it doesn't pose a problem), then "shift" some of them by multiplying with ''a'' or ''b'', then "reassemble" two of them to make <math>F_2</math> and reassemble the other two to make another copy of <math>F_2</math>. That's exactly what we want to do to the ball.
+(The notation ''a'' ''S''(''a''<sup>−1</sup>) means take all the strings in ''S''(''a''<sup>−1</sup>) and concatenate them on the left with ''a''.) Make sure that you understand this last line, because it is at the core of the proof. Now look at this: we cut our group <math>F_2</math> into four pieces (Forget about <math>e</math> for now, it doesn't pose a problem), then "shift" some of them by multiplying with ''a'' or ''b'', then "reassemble" two of them to make <math>F_2</math> and reassemble the other two to make another copy of <math>F_2</math>. That's exactly what we want to do to the ball.
-'''Step 2.''' In order to find a group of rotations of 3D space that behaves just like (or "isomorphic to") the group <math>F_2</math>, we take two orthogonal axes and let ''A'' be a rotation of arccos(1/3) about the first and ''B'' be a rotation of arccos(1/3) about the second.  (This step cannot be performed in two dimensions.)  It is somewhat messy but not too difficult to show that these two rotations behave just like the elements ''a'' and ''b'' in our group <math>F_2</math>. We'll skip it. The new group of rotations generated by ''A'' and ''B'' will be called '''H'''. Of course, we now also have a paradoxical decomposition of '''H'''.
+'''Step 2.''' In order to find a group of rotations of 3D space that behaves just like (or "isomorphic to") the group <math>F_2</math>, we take two orthogonal axes and let ''A'' be a rotation of arccos(1/3) about the first and ''B'' be a rotation of arccos(1/3) about the second. (This step cannot be performed in two dimensions.) It is somewhat messy but not too difficult to show that these two rotations behave just like the elements ''a'' and ''b'' in our group <math>F_2</math>. We'll skip it. The new group of rotations generated by ''A'' and ''B'' will be called '''H'''. Of course, we now also have a paradoxical decomposition of '''H'''.
-'''Step 3.''' The unit sphere ''S''<sup>2</sup> is partitioned into [[orbit (group theory)|orbit]]s by the [[group action|action]] of our group '''H''': two points belong to the same orbit if and only if there's a rotation in '''H''' which moves the first point into the second.  We can use the [[axiom of choice]] to pick exactly one point from every orbit; collect these points into a set ''M''. Now (almost) every point in ''S''<sup>2</sup> can be reached in exactly one way by applying the proper rotation from '''H''' to the proper element from ''M'', and because of this, the paradoxical decomposition of '''H''' then yields a paradoxical decomposition of ''S''<sup>2</sup>.
+'''Step 3.''' The unit sphere ''S''<sup>2</sup> is partitioned into [[orbit (group theory)|orbit]]s by the [[group action|action]] of our group '''H''': two points belong to the same orbit if and only if there's a rotation in '''H''' which moves the first point into the second. We can use the [[axiom of choice]] to pick exactly one point from every orbit; collect these points into a set ''M''. Now (almost) every point in ''S''<sup>2</sup> can be reached in exactly one way by applying the proper rotation from '''H''' to the proper element from ''M'', and because of this, the paradoxical decomposition of '''H''' then yields a paradoxical decomposition of ''S''<sup>2</sup>.
 '''Step 4.''' Finally, connect every point on ''S''<sup>2</sup> with a ray to the origin; the paradoxical decomposition of ''S''<sup>2</sup> then yields a paradoxical decomposition of the solid unit ball. (The center of the ball needs a bit more care, but we omit this part in the sketch.)
 '''NB.''' This sketch glosses over some details. One has to be careful about the set of points on the sphere which happen to lie on an axis of rotation of some matrix in '''H'''. On the one hand, there are countably many such points so they "do not matter", and on the other hand it is possible to patch up even those points. The same applies to the center of the ball.
@@ 96. sor: / 96. sor: @@
 ==További információk==
 * Beke Tibor: [http://db.komal.hu/KomalHU/cikk.phtml?id=198917 Hogyan csináljunk aranyat, avagy a Banach-Tarski paradoxonról], ''Középiskolai Matematikai Lapok'', 1989/11
-* Laczkovich Miklós:  ''Sejtés és bizonyítás'', Typotex, 1998, ISBN 9637546898
+* Laczkovich Miklós: ''Sejtés és bizonyítás'', Typotex, 1998, ISBN 9637546898
 * Stan Wagon: ''The Banach-Tarski Paradox'', Encyclopedia of Mathematics and its Applications, '''24''', 1985.
 * Leonard M. Wapner: ''The pea and the sun'', A K Peters, 2005. ISBN 1-56881-213-2