„Riemann-integrál” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
11. sor: | 11. sor: | ||
[[Kép:riemann1.png|bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény.]] |
[[Kép:riemann1.png|bélyegkép|jobbra|Integrálható (azon belül folytonos) függvény.]] |
||
Osszuk fel az intervallumot ''n'' részre valamilyen <math> |
Osszuk fel az intervallumot ''n'' részre valamilyen <math>F_n = \{ x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n \}</math> halmazzal, ahol <math>a=x_0 < x_1 < \cdots < x_n=b</math>. Ezt az ''F''<sub>''n''</sub> halmazt az ''[a,b]'' intervallum egy ''felosztásának'' nevezzük. A felosztás ''finomságának'' nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen: <math>d(F_n)</math> |
||
[[Kép:riemann2.png|bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása]] |
[[Kép:riemann2.png|bélyegkép|jobbra|Az integrálási intervallum egy három részintervallumból álló felosztása]] |
||
23. sor: | 23. sor: | ||
Ezt a <math>\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})</math> jelöléssel a következőképp is felírhatjuk: |
Ezt a <math>\Delta x_i=(x_i-x_{i-1})</math> jelöléssel a következőképp is felírhatjuk: |
||
:<math>\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n |
:<math>\sigma(F_n) =\sum_{i=1}^n{ f(\xi_i)\Delta x_i} =f(\xi_1)\Delta x_1+f(\xi_2)\Delta x_2+\, \cdots \, +f(\xi_n)\Delta x_n</math> |
||
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: <math>\{F_n\} = F_1, |
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: <math>\{F_n\} = F_1, F_2, F_3, F_4, \ldots</math>. Ezeket nevezzük ''felosztássorozatoknak''. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a <math>\{d(F_n)\} = d(F_1), d(F_2), \ldots</math> sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot ''normális felosztássorozatnak'' vagy ''minden határon túl finomodó felosztássorozatnak'' nevezzük. |
||
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]] |
[[Kép:riemann.gif|bélyegkép|jobbra|Normális felosztássorozat első tagjai]] |
||
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az |
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény ''Riemann-integrálható'' az [''a'',''b''] intervallumon, és a határértékét a függvény ''Riemann-integrál''jának nevezzük. Jele: <math>\int \limits _a^b f(x) \, dx</math> vagy röviden: <math>\int \limits _a^b f</math>. |
||
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f</math> |
:<math>d(F_n) \to 0 \Rightarrow \sigma(F_n) \to \int \limits _a^b f</math> |
||
42. sor: | 42. sor: | ||
:: <math>x_{i-1} \le \xi_i \le x_i </math> |
:: <math>x_{i-1} \le \xi_i \le x_i </math> |
||
:: <math>\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le |
:: <math>\lim_{n\to \infty} \max \left\{ x_i - x_{i-1} | 1 \le i \le n \right\}=0 </math> |
||
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható. |
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható. |
||
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal=== |
===Jellemzés a Darboux-integrálokkal=== |
||
Ha a |
Ha a <math>\sigma_n</math> összegben az <math>f(\xi_i)</math> helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a ''(Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez'' jutunk: <math>S_n = \sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1})}</math>, ahol <math>M_i</math> a függvény felső határa (supremuma) az <math>[x_{i-1}, x_i]</math> intervallumon. |
||
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math> |
Hasonló a ''(Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg'' definíciója is: <math>s_n = \sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1})}</math>, ahol <math>m_i</math> az függvény alsó határa (infimuma) az <math>[x_{i-1}, x_i]</math> intervallumon. |
||
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. |
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. |
||
Az alsó |
Az alsó integrálközelítő összegek [[szuprémum]]a az alsó Darboux-integrál: |
||
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>, |
:<math>\underline{\int_a^b}=\sup\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ m_i(x_i-x_{i-1}})</math>, |
||
és a felső |
és a felső integrálközelítő összegek [[infimum]]a a felső Darboux-integrál: |
||
:<math>\overline{\int_a^b}=\inf\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>. |
:<math>\overline{\int_a^b}=\inf\limits_{a=x_1<\ldots<x_n=b}\,\sum_{i=1}^n{ M_i(x_i-x_{i-1}})</math>. |
||
63. sor: | 63. sor: | ||
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is. |
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is. |
||
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és |
Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és |
||
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>, |
:<math>F(t)=\int_a^t f(x)\,dx</math>, |
||
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n. |
akkor <math>F</math> folytonos <math>[a,b]</math>-n. |
||
78. sor: | 78. sor: | ||
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math> |
:<math>\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx</math> |
||
===Az integrációs intervallum felbonthatósága=== |
===Az integrációs intervallum felbonthatósága=== |
||
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint: |
Legyen <math>a<b<c</math>. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,c]</math> intervallumon, akkor Riemann-integrálható <math>[a,b]</math> és <math>[b,c]</math> intervallumokon is, valamint: |
||
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math> |
:<math>\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx+\int_c^a f(x)\,dx=0</math> |
||
===Háromszög-egyenlőtlenség=== |
===Háromszög-egyenlőtlenség=== |
||
96. sor: | 96. sor: | ||
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek. |
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek. |
||
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan |
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha <math>f</math> Riemann-integrálható <math>[a,b]</math>-n, és <math>F(x)=\int_a^xf(t)\,dt</math> (azaz <math>F</math> határozatlan integrálja f-nek), akkor <math>F'(x)=f(x)</math>, az intervallum minden <math>x</math> pontjára. |
||
===Parciális integrálás=== |
===Parciális integrálás=== |
||
116. sor: | 116. sor: | ||
* [[Burkill-integrál]] |
* [[Burkill-integrál]] |
||
* [[Daniell-integrál]] |
* [[Daniell-integrál]] |
||
* [[Darboux-integrál]], a |
* [[Darboux-integrál]], a Riemann-integrál egy variációja |
||
* [[Denjoy-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása |
* [[Denjoy-integrál]], a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása |
||
* [[Dirichlet-integrál]] |
* [[Dirichlet-integrál]] |
||
142. sor: | 142. sor: | ||
== Források == |
== Források == |
||
* Durszt E. ([[1995]]): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged. |
* Durszt E. ([[1995]]): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged. |
||
* Imreh Cs. ([[1997]]): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o. |
* Imreh Cs. ([[1997]]): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o. |
||
* [[Leindler László|Leindler L.]] ([[1995]]): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged. |
* [[Leindler László|Leindler L.]] ([[1995]]): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged. |
||
* Medvegyev P. ([[2004]]): |
* Medvegyev P. ([[2004]]): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest. |
||
* Mikolás M. ([[1978]]): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest. |
* Mikolás M. ([[1978]]): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest. |
||
A lap 2014. május 1., 12:46-kori változata
A matematikai analízisben az érintőprobléma mellett a másik jelentős témakör a kvadratúra problémája, vagyis a függvénygörbe alatti terület meghatározása, azaz az integrálás (régen: egészlés).
Szemléletesen az integrálás feladata azt meghatározni, hogy adott [a,b] zárt intervallumon értelmezett, pozitív értékeket felvevő függvény esetén mekkora területű síktartományt határol a függvény görbéje, az x tengely, valamint az x = a és az x = b egyenes. Valójában ez a másik irányban igaz: Az integrálás segítségével definiálható az említett görbével határolt terület nagysága.
Folytonos függvények integráljára először Cauchy adott minden esetben ellenőrizhető eredményt szolgáltató definíciót. Riemann kérdése az volt, hogy milyen – nem feltétlenül folytonos – függvények esetén értelmes még integrálról beszélni. Ő alkotott először általános definíciót az integrálható függvények osztályának értelmezésére. Azokat a függvényeket, amelyek ennek a definíciónak megfelelnek, Riemann-integrálhatónak nevezzük.
Riemann-integrál definíciója
Riemann definíciója
Az integrál jellemzői az integrálandó f(x) függvény és az [a,b] intervallum, amin integrálunk. Az a-t az integrál alsó határának, a b-t az integrál felső határának nevezzük.
Osszuk fel az intervallumot n részre valamilyen halmazzal, ahol . Ezt az Fn halmazt az [a,b] intervallum egy felosztásának nevezzük. A felosztás finomságának nevezzük a felosztás leghosszabb részintervallumának a hosszát. Ennek a jele legyen:
Mindegyik [xi-1, xi] részintervallumból (1 ≤ i ≤ n) válasszunk ki tetszőlegesen egy ξi elemet.
Állítsunk f(ξi) magasságú téglalapokat a részintervallumokra, majd összegezzük ezek területét, így megkapjuk az adott felosztással adódó területet, amit közelítő összegnek nevezünk:
Ezt a jelöléssel a következőképp is felírhatjuk:
A felosztásokból az intervallumok számának növelésével készíthetünk végtelen sorozatokat: . Ezeket nevezzük felosztássorozatoknak. Ha egy olyan felosztássorozatot veszünk, melyre a sorozat a nullához tart, akkor a felosztássorozatot normális felosztássorozatnak vagy minden határon túl finomodó felosztássorozatnak nevezzük.
Ha a közelítő összegek sorozata minden normális felosztássorozat esetén konvergens, akkor azt mondjuk, hogy a függvény Riemann-integrálható az [a,b] intervallumon, és a határértékét a függvény Riemann-integráljának nevezzük. Jele: vagy röviden: .
Összefoglalva:
- ahol
Bebizonyítható, hogy minden szakaszosan folytonos függvény Riemann-integrálható.
Jellemzés a Darboux-integrálokkal
Ha a összegben az helyett mindenhol a függvénynek az adott részintervallumbeli felső határát írjuk, akkor a (Darboux-féle) felső integrálközelítő összeghez jutunk: , ahol a függvény felső határa (supremuma) az intervallumon.
Hasonló a (Darboux-féle) alsó integrálközelítő összeg definíciója is: , ahol az függvény alsó határa (infimuma) az intervallumon.
A Darboux-féle integrálközelítő összegekkel definiálhatjuk minden korlátos függvény Darboux-integráljait. Az alsó integrálközelítő összegek szuprémuma az alsó Darboux-integrál:
- ,
és a felső integrálközelítő összegek infimuma a felső Darboux-integrál:
- .
Egy adott intervallumon korlátos függvénynek mindig léteznek a Darboux-integráljai. Egy ilyen függvény akkor és csak akkor integrálható Riemann-féle értelemben, ha az alsó és felső Darboux-integráljaik megegyeznek.
A Riemann-integrál tulajdonságai
Kapcsolata a folytonossággal
Az elvárásainknak megfelelően, ha egy függvény folytonos egy korlátos intervallumon, akkor ugyanott Riemann-integrálható is.
Ha Riemann-integrálható -n, és
- ,
akkor folytonos -n.
Linearitás
Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvények, valós konstans, akkor és is integrálható ugyanott, és teljesülnek a következők:
Az integrációs határok felcserélése
Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor
Az integrációs intervallum felbonthatósága
Legyen . Ha Riemann-integrálható intervallumon, akkor Riemann-integrálható és intervallumokon is, valamint:
Háromszög-egyenlőtlenség
Ha az intervallumon Riemann-integrálható függvény, akkor is az, és teljesül a következő:
Schwarz-egyenlőtlenség
Ha az intervallumon integrálhatóak a Riemann-féle értelemben, akkor a négyzeteik és a szorzatuk is, és fennáll a következő egyenlőtlenség:
Newton-Leibniz formula
A határozott integrál és a primitív függvény kapcsolatát tárja fel a Isaac Barrow által felfedezett Newton-Leibniz formula:
Ha -n , akkor
Ezt a formulát Riemann-integrál kielégíti, így a Riemann-integrál megfelel a határozott integrál fogalmáról a XVII. században kialakult intuitív képünknek.
Emellett teljesül a tétel megfordítása is. Ha Riemann-integrálható -n, és (azaz határozatlan integrálja f-nek), akkor , az intervallum minden pontjára.
Parciális integrálás
A Newton-Leibniz formulából már könnyen adódik a parciális integrálás képlete:
Helyettesítéses integrálás
Legyen , ahol folytonosan differenciálható, és folytonos általi képén. Ekkor
A Riemann-integrálhatóság Lebesgue-féle kritériuma
Egy intervallumon értelmezett függvény pontosan akkor Riemann-integrálható, ha korlátos és majdnem minden pontjában folytonos (tehát a szakadási pontok halmaza a Lebesgue-mérték szerint nullmértékű).
Egyéb integrálok
Bár a Riemann-integrál a leggyakrabban használt integrál, van sok egyéb integrálfogalom:
- Banach-integrál
- Burkill-integrál
- Daniell-integrál
- Darboux-integrál, a Riemann-integrál egy variációja
- Denjoy-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása
- Dirichlet-integrál
- Euler-integrál
- Fejér-integrál
- Haar-integrál
- Henstock-Kurzweil-integrál, a Riemann- és Lebesgue-integrálok közös általánosítása (HK-integrál, valamint Kurzweil-Henstock-integrál néven is)
- Henstock-Kurzweil-Stieltjes integrál (HK-Stieltjes-integrál néven is)
- Itô-integrál
- Itô-Stieltjes-integrál
- Lebesgue-integrál
- Lebesgue-Stieltjes-integrál (Lebesgue-Radon-integrál néven is)
- mérték szerinti integrál, az integrálfogalom legfontosabb mértékelméleti általánosítása
- Perron-integrál, ami ekvivalens a tiltott Denjoy-integrállal
- Poisson-integrál
- Radon-integrál
- Stieltjes-integrál, a Riemann-integrál kiterjesztése (Riemann-Stieltjes-integrálnak is nevezik)
- sztochasztikus integrál
- Wiener-integrál
- Young-féle integrál
További információk
- Magyarított Flash animáció a Riemann-integrál szemléltetéséről általában plusz egy konkrét függvénnyel. Szerző: David M. Harrison
Források
- Durszt E. (1995): Bevezetés a mérték- és integrálelméletbe. JATEPress, Szeged.
- Imreh Cs. (1997): A Riemann-integrál egy általánosításáról. Polygon, VII. 2. 15-34. o.
- Leindler L. (1995): A funkcionálanalízis elemei. JATEPress, Szeged.
- Medvegyev P. (2004): Sztochasztikus analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
- Mikolás M. (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.