„Catalan-sejtés” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2014. április 30., 23:23-kori változata

A Catalan-sejtés vagy Mihăilescu-tétel a számelmélet egyszerűen megfogalmazható tétele, amelyet a belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A tétel szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.

Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az

x^a ‒ y^b = 1

egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:

3² ‒ 2³ = 1

Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.

Története

A probléma Levi ben Gershonig követhető vissza, aki 1343-ben belátta azt az esetet, amikor x és y 2 vagy 3.

1976-ban Robert Tijdeman a transzcendenciaelmélet Baker-módszerét alkalmazta, és korlátokat adott a-ra és b-re, továbbá felülről becsülte mind a négy számot a és b függvényével és az addig ismert korlátok felhasználásával. A korlátra exp exp exp exp 730 adódott.^[1] Ezzel véges, de nagy számú kivétellel megoldotta a Catalan-sejtést. A korlát kezelhetetlenül nagy, és a bizonyítás befejezése túl sok erőforrást igényelne.

Preda Mihăilescu 2002-ben befejezte a bizonyítást, és a Journal für die reine und angewandte Mathematik folyóiratban, 2004-ben publikálta. Nem a régebbi ötletet vitte tovább, hanem körosztási testeket és Galois-modulusokat használt. Yuri Bilu a Bourbaki-szemináriumon mutatta be a bizonyítást.

Pillai-sejtés

A Pillai-sejtés a teljes hatványok különbségeivel foglalkozik. S. S. Pillai vetette fel, hogy a hatványszámok különbségei a végtelenbe tartanak. Ekvivalensen, minden pozitív egész véges sokszor áll elő két hatványszám különbségeként. Általánosabban, az A, B, C rögzített egészekre az $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$ különbség minden λ-ra 1-nél kisebb.^[2]

Az általános sejtés az abc-sejtés következménye lenne.^[2]^[3]

Erdős Pál szerint van egy c szám, hogy ha d két n-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy n-re d>n^c.

Jegyzetek

↑ Ribenboim, Paulo. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, 236. o. (1979). ISBN 0-387-90432-8
↑ ^a ^b Narkiewicz, Wladyslaw. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, 253–254. o. (2011). ISBN 0-857-29531-4
↑ Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 207. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

Források

Catalan, Eugene. (1844): Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.
Preda Mihăilescu (2004). „Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture”. J. Reine angew. Math. 572 (572), 167–195. o. DOI:10.1515/crll.2004.048.
Paulo Ribenboim. Catalan's Conjecture. Academic Press (1994). ISBN 0-12-587170-8 Predates Mihăilescu's proof.
Robert Tijdeman (1976). „On the equation of Catalan”. Acta Arith. 29 (2), 197–209. o.
Tauno Metsänkylä (2004). „Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved” (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1), 43–57. o. DOI:10.1090/S0273-0979-03-00993-5.
Yuri Bilu (2004). „Catalan's conjecture (after Mihăilescu)”. Astérisque 294, vii, 1–26. o.

További információk

http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
P. Mihailescu (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture” (angol nyelven). Crelle's Journal (572), 167–195. o.

[1] Ribenboim, Paulo. 13 Lectures on Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, 236. o. (1979). ISBN 0-387-90432-8

[rnt-2] Narkiewicz, Wladyslaw. Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, 253–254. o. (2011). ISBN 0-857-29531-4

[3] Schmidt, Wolfgang M.. Diophantine approximations and Diophantine equations, 2nd, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, 207. o. (1996). ISBN 3-540-54058-X

[1]

[2]

[3]

@@ 4. sor: / 4. sor: @@
 :<var>x</var><sup><var>a</var></sup>&nbsp;‒ <var>y</var><sup><var>b</var></sup>&nbsp;= 1
 egyenlet egyetlen megoldása
 <var>x</var>,<var>a</var>,<var>y</var>,<var>b</var>&nbsp;&gt;&nbsp;1 [[egész számok]] esetén:
 :3² &nbsp;‒ 2³ = 1
-Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett ''exponenciális'' [[diofantoszi egyenlet]]re. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor ''a, b'' prímszámok. [[Carl Ludwig Siegel]] egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített ''a, b'' esetén csak véges sok megoldás van.  [[Robert Tijdeman]] [[1976]]-ban, felhasználva [[Alan Baker]] logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül [[Preda Mihǎilescu]] [[2002]]-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből [[tétel]]lé vált.
+Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett ''exponenciális'' [[diofantoszi egyenlet]]re. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor ''a, b'' prímszámok. [[Carl Ludwig Siegel]] egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített ''a, b'' esetén csak véges sok megoldás van. [[Robert Tijdeman]] [[1976]]-ban, felhasználva [[Alan Baker]] logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül [[Preda Mihǎilescu]] [[2002]]-ben bebizonyította Catalan sejtését, tehát az most már sejtésből [[tétel]]lé vált.
 ==Története==
 A probléma Levi ben Gershonig követhető vissza, aki 1343-ben belátta azt az esetet, amikor ''x'' és ''y'' 2 vagy 3.
@@ 19. sor: / 19. sor: @@
 Az általános sejtés az [[abc-sejtés]] következménye lenne.<ref name=rnt/><ref>{{cite book | last=Schmidt | first=Wolfgang M. | authorlink=Wolfgang M. Schmidt | title=Diophantine approximations and Diophantine equations | series=Lecture Notes in Mathematics | volume=1467 | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=1996 | edition=2nd | isbn=3-540-54058-X | zbl=0754.11020 | page=207}}</ref>
-[[Erdős Pál]] szerint van egy  ''c'' szám, hogy ha ''d'' két ''n''-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy ''n''-re ''d''&gt;''n''<sup>''c''</sup>.
+[[Erdős Pál]] szerint van egy ''c'' szám, hogy ha ''d'' két ''n''-edik hatvány különbsége, akkor elég nagy ''n''-re ''d''&gt;''n''<sup>''c''</sup>.
 ==Jegyzetek==
@@ 26. sor: / 26. sor: @@
 * Catalan, Eugene. (1844): {{lang|fr|Note extraite d’une lettre adressée à l’éditeur. J. Reine Angew. Math., 27:192.}}
 * {{cite journal | author=Preda Mihăilescu | authorlink=Preda Mihăilescu | title=Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture | journal=J. Reine angew. Math. | volume=572 | year=2004 | pages=167–195 | url=http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.2004.048 | doi=10.1515/crll.2004.048 | issue=572 |mr=2076124}}
-* {{cite book | author=Paulo Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | title=Catalan's Conjecture | publisher=Academic Press | year=1994 | isbn=0-12-587170-8}}  Predates Mihăilescu's proof.
+* {{cite book | author=Paulo Ribenboim | authorlink=Paulo Ribenboim | title=Catalan's Conjecture | publisher=Academic Press | year=1994 | isbn=0-12-587170-8}} Predates Mihăilescu's proof.
 * {{cite journal | author=Robert Tijdeman | authorlink=Robert Tijdeman | title=On the equation of Catalan | journal=Acta Arith. | volume=29 | issue=2 | year=1976 | pages=197–209}}
 * {{cite journal | author=Tauno Metsänkylä | url=http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf | format=PDF | title=Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved | journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] | volume=41 | year=2004 | issue=1 | pages=43–57 | doi=10.1090/S0273-0979-03-00993-5}}