Valószínűségszámítás

A valószínűségszámítás a matematika egyik tudományága. Eredeti motivációját az olyan ún. indeterminisztikus (avagy véletlen) tömegjelenségek, röviden kísérletek mennyiségi, gyakorisági viszonyainak vizsgálata adta, melyek egyrészt tetszőlegesen sokszor ismétlődhetnek (ezért tömegjelenségek), de minden megismétlődésük többféle eredménnyel – kimenetellel járhat; ugyanakkor nem tudjuk (esetleg nem akarjuk, mert nem éri meg utánajárni) pontosan megmondani, kiszámítani, melyik ismétlődés alkalmával melyik kimenetel következik be (ettől indeterminisztikus a tömegjelenség). Példa kísérletre egy pénzérme feldobása: elvileg akárhányszor feldobhatjuk, de általában nem tudjuk határozottan megjósolni, melyik oldalára esik.

A huszadik században a valószínűség-számítást sikerült axiomatizálni (Kolmogorov-axiómák). Ezáltal ez, az addig a függvényelmélethez közel álló, mennyiségtani vonásokat mutató tudományág az analízis absztraktabb, a halmazelméleti-topológiai ágai, mint a mértékelmélet közé tagozódott be.

Főbb ágai a klasszikus valószínűség-számítás, a matematikai statisztika, a sztochasztikus folyamatok elmélete (folyamatstatisztika), és az információelmélet.

Története

• Fő szócikk: A valószínűség-számítás története

A valószínűségek elméletének – „a véletlen matematikájának” megalapozói közt elsősorban említendő a francia Pierre Fermat (1601–1665) és Blaise Pascal (1623–1662); bár néhány ilyen tárgyú mű már az ő működésük előtt is megjelent. A legfontosabb példa a De ludo aleae (A kockajátékról) c. könyv, amit Cardanonak (1501–1576) tulajdonítanak (a kockajátékról már Claudius római császár is írt egy hosszabb, tréfás értekezést). A legtöbb értekezés a véletlenek törvényszerűségeiről hasonló címet viselt – a matematikának ez az ága ugyanis a szerencsejátékok elméleteként indult. Levelezésükben Pascal és Fermat is lényegében a kockázáshoz és egyéb játékokhoz kapcsolódó problémákat, feladatokat ("pontosztozkodási probléma" ill. "de Méré lovag problémája"), tárgyalnak és oldanak meg, és lerakják a "klasszikus" vagy "kombinatorikus" valószínűség-számítás alapjait.

A valószínűség-számítás mint matematikai elmélet születési évének az 1654-es esztendőt (Fermat és Pascal egyik ilyen tárgyú levelének kelte) szokás tekinteni; maga a „valószínűség” (probabilitas) szó Jacob Bernoulli (1654–1705) Ars conjectandi (A találgatás művészete, 1713.) c. munkájában fordul elő először. Ha sokszor elvégezzük ugyanazt a kísérletet, és jegyezzük, hogy adott esemény ennek során hányszor következett be, akkor a kísérletet egyre többször végezve az adott esemény relatív gyakorisága (azaz az esemény bekövetkezései számának és a kísérletek számának hányadosa) egyre inkább megközelít egy számot: az esemény valószínűségét. Például ha kísérletként egy dobókockát dobunk fel sokszor, amelyik egyenlő eséllyel eshet mind a hat oldalára; és jegyezzük, hányszor dobtunk hatost, akkor elegendő sokszor végezve a feldobásokat azt tapasztaljuk, hogy az összes dobások körülbelül 1/6-od részében kaptuk a hatos számot.

A szerencsejátékok elmélete később biztosítási, népesedési és sztochasztikus (véletlen) geometriai problémákkal (céllövészet elmélete) bővült. A fontosabb matematikusok, akik ilyen problémákkal foglalkoztak (és neveikkel nemsokára találkozhatunk például tételnevekként): Moivre, Legendre, Bayes (ld. Bayes tétele), Poisson, Gauss, Buffon (ld. geometriai valószínűség). A XIX. században a valószínűség-számítás a matematika önmagában is hatalmas, önálló ágává vált. Pierre-Simon de Laplace (1749–1827) 1812-ben megjelent Théorie analitique des probabilités (A valószínűségek analitikai elmélete) c. könyve nemcsak összefoglalója ennek az elméletnek, de sokáig fejlődésének egyik motorja.

A „modern kori” (XIX. század második fele–XX. század első fele) valószínűség-számítást az „orosz iskola” vitte tovább: a legismertebb nevek Csebisev, Markov és Ljapunov. Az elmélet axiomatikus megalapozását (1933-ban) a moszkvai Kolmogorov végezte el (ld. Kolmogorov-axiómák). E lépéssel a valószínűség-számítás a modern matematika többi ágával teljesen egyenrangú formális elméletté vált. Kolmogorovtól ered a „valószínűségi mező” fogalma: ez egy esemény-halmaznak (eseménytérnek) és egy „valószínűség-kiszámítási módnak” (ez valamilyen nemnegatív valós szám értékű függvény) a párosa. Ez a fogalom már a posztmodern, struktúra- és modellelméleti szemléletű matematika terméke.

A valószínűség-számítás nemcsak megalapozódott a huszadik században, hanem folyamatosan olyan területekkel bővült, mint egy részecske bolyongásának leírása többdimenziós euklideszi térben (ld. Brown-mozgás, Wiener-folyamat). A huszadik század második felében született meg önálló tudományként műszaki, mérnöki és statisztikai problémák termékeként a valószínűség-számítás két fontos új ága: a folyamat-statisztika, illetve az információelmélet. De nemcsak a "kívülről jött", például fizikai eredetű problémákkal gazdagodott, mint a bolyongások; hanem alkalmazást nyert másféle ágakkal foglalkozó matematikusok körében is; így manapság olyan "furcsa" gondolatokkal találkozhatunk, hogy számelméleti problémákat valószínűség-számítási alapon is lehet vizsgálni.

A természettudományok, különösen a fizika és a …-fizikák („genitivus”-fizikák, mint a biofizika és a csillagászat) egyfajta metatudományként használják állításaik „szilárdságának” meghatározására, hasonlóképp, mint például a hibaszámítást és egyéb numerikus módszerek elméletét. A valószínűség-számítás talán jelenleg legfontosabb alkalmazási területe a hírközlés- és információelmélet.

Eseményalgebra

A valószínűség-számításhoz, mint szinte minden matematikai tudományághoz, mindenekelőtt egy matematikai struktúra szükségeltetik. A valószínűség-számítás esetében ez a struktúra egy ún. eseményalgebra, (ami általában egy σ-algebra, más néven egy mérhető tér). Az eseményalgebra a tapasztalati probléma modellezésére jó. A kísérletet egy halmazzal azonosítjuk, mégpedig a kísérlet kimeneteleinek K halmazával. Ezt nevezzük eseménytérnek is (elemeit pedig elemi eseményeknek is nevezzük, ld. még lentebb).

Eseménynek nevezhetünk mindent, amiről a kísérlet elvégzése után eldönthető, hogy bekövetkezett-e, vagy sem. Érthetőbben, "eseménynek" a kísérlet kimeneteleiről szóló, egyértelműen igaz vagy hamis állítás igazságértéke mivoltának eldőlését nevezhetjük (pl.: egy szabályos dobókockával dobunk, hat lesz-e az eredmény? – ha igen, a "hat lesz" esemény következett be, ha nem, akkor nem. De definiálhatóak bonyolultabb (összetett) események is, pl. "3-nál nagyobb lett-e az eredmény?" - ha 4-et, 5-öt, vagy 6-ot dobtunk, a "háromnál nagyobb lett" esemény következett be az adott kísérlet során, egyébként nem).

A kísérlet egy megismétlése mindig egy kimenetelt ad. A kimenetel ismeretében egyértelműen eldönthető, egy adott A esemény, mint a kimenetelről szóló állítás, teljesül-e vagy sem. Azon kimenetelek, melyek bekövetkezése az A állítást igazzá teszi, a K egy részhalmazát alkotják, matematikailag az eseményt nyugodtan azonosíthatjuk e részhalmazzal (például ha szabályos kockával 2-t, 4-et, vagy 6-ot dobunk, akkor bekövetkezik a "páros számot dobtunk" esemény, egyébként nem; tehát az esemény a K={1,2,3,4,5,6} halmaz A={2,4,6} részhalmazával azonosítható.). A kimenetelek is felfoghatóak eseményeknek, hiszen a k∈K kimenetelhez egyértelműen tartozik egy {k}⊆K egyelemű esemény, azaz elemi esemény (a "kimenetel" és "elemi esemény" fogalmai között tehát praktikusan általában jelentéktelen különbség van).

A gyakorlati problémák szempontjából fontos ismerni a figyelembe vehető események halmazát, ez tehát a K részhalmazai halmazának (hatványhalmazának, P(K)-nak) egy R részhalmaza. Matematikai vizsgálatra jobbára azon R eseményterek alkalmasak, melyekre igaz, hogy nem üresek, és bármely két esemény halmazelméleti összege (uniója) és különbsége is esemény (azaz R-beli). Egyébként ez ekvivalens azzal, hogy R tartalmazza a biztos eseményt, bármely R-beli esemény komplementerét, valamint bármely két R-beli esemény összegét. Az eseményalgebra jobbára a klasszikus problémák alapeszköze, a felsőbb matematikában inkább a szigma-algebra fogalmára alapozunk.

Egy esemény lehetetlen esemény, ha semmilyen körülmények között nem következik be. Biztos eseményről akkor beszélünk, ha a kísérlet során biztosan (mindig) bekövetkezik. Azt az eseményt, mely akkor és csak akkor következik be, ha az A esemény nem következik be, az A esemény ellentett eseményének nevezzük.

Klasszikus valószínűség-számítás

Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószínűségei együtt ún. klasszikus valószínűségi mezőt alkotnak.

Legyen A a kísérlettel kapcsolatos esemény. Ha az A esemény a kísérlet n elemi eseménye közül k különböző elemi esemény összegéből áll, akkor valószínűsége:

$P(A)={k \over n}$.

(k – kedvező esetek száma , n – lehetséges (összes) eset száma)

Bernoulli tétele

Adott: P(A)=p. Ha egy kísérlettel egymástól függetlenül n-szer elvégzünk, akkor annak a valószínűsége, hogy az A esemény pontosan k-szor bekövetkezik:

$P_{k}={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

Szóban kifejezve:

Legyen A eseményünk, melynek valószínűsége p. Végezzünk n számú kísérletet, melyből az A esemény k-szor következik be. B esemény az az esemény, hogy A esemény k-szor bekövetkezik. B esemény bekövetkezésének valószínűsége a fenti képlet alapján meghatározható.

Kapcsolódó szócikkek

• Szerencsejátékosok tévedése
• "Folyamat modellezés, valószínűségszámítás, információelmélet" c. könyv