„Konstans függvény” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a Bot: interwikik eltávolítása (Wikidata) |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e |
Egy [[függvény (matematika)|függvényt]] ''konstans''nak nevezünk, ha [[értékkészlet]]e egyelemű. |
||
Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és |
Formálisan: f(x)=f(y) minden, az [[értelmezési tartomány]]ban levő x-re és |
||
y-ra. |
y-ra. |
||
13. sor: | 13. sor: | ||
A következők ekvivalensek: |
A következők ekvivalensek: |
||
* f'' : ''A'' → ''B'' konstans |
* f'' : ''A'' → ''B'' konstans |
||
* minden g, h függvényre ''g'', ''h'' : ''C'' → ''A'', ''f'' <small> o </small> ''g'' = ''f'' <small> o </small> ''h'', (a |
* minden g, h függvényre ''g'', ''h'' : ''C'' → ''A'', ''f'' <small> o </small> ''g'' = ''f'' <small> o </small> ''h'', (a kategóriaelméletben így definiálják) |
||
⚫ | |||
kategóriaelméletben így definiálják) |
|||
⚫ | |||
kapunk. |
|||
Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós |
Ha f valós [[intervallum]]on értelmezett konstans függvény és valós |
A lap 2013. október 30., 00:05-kori változata
Egy függvényt konstansnak nevezünk, ha értékkészlete egyelemű. Formálisan: f(x)=f(y) minden, az értelmezési tartományban levő x-re és y-ra. Nem tekintjük konstansnak a függvényt, ha az üres halmazon van értelmezve. Ha polinomként tekintjük, akkor a nem 0 értékű konstans foka 0, a konstans nulla fokát pedig nem értelmezzük.
Tulajdonságok
A konstans függvények jellemezhetők a függvénykompozíció segítségével.
A következők ekvivalensek:
- f : A → B konstans
- minden g, h függvényre g, h : C → A, f o g = f o h, (a kategóriaelméletben így definiálják)
- bármely függvénnyel komponáljuk -et, mindig konstans függvényt kapunk.
Ha f valós intervallumon értelmezett konstans függvény és valós értékű, akkor differenciálható, és deriváltja az azonosan 0 függvény. Monoton nő és monoton csökken, de nem szigorúan monoton. Grafikonja vízszintes egyenesdarab, az intervallumtól függően szakasz, félegyenes vagy egyenes.
A konstans függvények részbenrendezett halmazokon egyszerre rendezéstartók és rendezésfordítók. Hálókon ez az állítás megfordítható: nincs más függvény, aminek ilyen tulajdonságai lennének.
Topologikus terek bármely konstans leképezése folytonos. Összefüggő halmazon minden lokálisan konstans függvény az egész halmazon konstans. Ha a konstans függvény az értelmezési tartományába képez, akkor idempotens.
További összefüggések, általánosítás
- A komplex függvénytan Liouville tétele szerint korlátos egészfüggvény konstans. Következmény: pólushely nélküli elliptikus függvény konstans.
A lokálisan konstans függvények a konstans függvények általánosításának tekinthetők.
- Tartalmazzon az halmaz egynél több elemet. Az topologikus tér összefüggő, ha minden lokálisan konstans függvény konstans.
- Ha az topologikus tér összefüggő, és a topologikus tér diszkrét, akkor a folytonos függvény konstans.
Bizonyítás: A tér minden pontja nyílt-zárt. Tekintsük minden egyes pont teljes ősképét, ezek nyílt-zárt halmazok az térben. Az tér összefüggősége miatt azonban az összes nyílt-zárt részhalmaz az üres és az egész. Az egésznek viszont csak egy képe lehet, így az egész egy pontba képeződik, tehát a függvény konstans.
Források
- Herrlich, Horst and Strecker, George E., Category Theory, Allen and Bacon, Inc. Boston (1973)
- Thomas-féle kalkulus I., II., III.
- Halász Gábor: Komplex függvénytan
- konstans függvény a PlanetMath oldalain
- konstans függvények a MathAce-nál: magyarázatok és példa kérdések