„Szabad csoport” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[ellenőrzött változat][ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Nincs szerkesztési összefoglaló
Addbot (vitalap | szerkesztései)
a Bot: 13 interwiki link migrálva a Wikidata d:q431078 adatába
35. sor: 35. sor:
[[Kategória:Csoportelmélet]]
[[Kategória:Csoportelmélet]]
[[Kategória:Algebrai struktúrák]]
[[Kategória:Algebrai struktúrák]]

[[en:Free group]]
[[de:Freie Gruppe]]
[[es:Grupo libre]]
[[fr:Groupe libre]]
[[he:חבורה חופשית]]
[[it:Gruppo libero]]
[[ja:自由群]]
[[nl:Vrije groep]]
[[pl:Grupa wolna]]
[[pt:Grupo livre]]
[[ru:Свободная группа]]
[[uk:Вільна група]]
[[zh:自由群]]

A lap 2013. március 9., 04:17-kori változata

A matematikában a G csoport szabad csoport, ha létezik egy olyan S részhalmaza G-nek, hogy G minden eleme pontosan egyféleképpen írható fel S elemeinek és azok inverzeinek véges szorzataként. (Az egyféleképp úgy értendő, hogy a st-1 = su-1ut-1 jellegű „bővítésektől” eltekintünk.)

Egy kapcsolódó, de másmilyen fogalom a szabad Abel-csoport.

Konstrukció

Az szabad csoport S generátorhalmazzal való létrehozásához tekintsük a következő algoritmust: Nevezzük szónak az S elemeibő és azok inverzeiből képzett szorzatokat. Például, ha S={a, b, c}, akkor az alábbi például egy szó:

Ha egy elem közvetlenül az inverze mellett szerepel, akkor a szó leegyszerűsíthető az ss-1 pár elhagyásával:

Ha egy szó már nem egyszerűsíthető tovább, akkor redukáltnak nevezik. Az FS szabad csoport ekkor definiálható az összes S-ből származtatott redukált szó összességeként.


Ennek pontos bevezetése:
Tekintsük az S-ből álló direktszorzatok unióját a következő módon: , így megkapjuk az összes legfeljebb n hosszú szót. Értelemszerűen a szavak hossza a direktszorzat komponenseinek száma legyen (pontos definíciója rekurzívan történik), valamint kiegészíthetjük az ún. üres szóval. Az "egymás után írás" műveletét úgy definiálhatjuk, hogy a direkt szorzatban hozzávesszük a második szó komponenseit, az üres szó esetén nem történik változás.

Ha kommutativitást is szeretnénk szabad csoportunkban, akkor két szó egyenlősége definiálható úgy is, hogy redukált szavaik csak a betűk sorrendjében különböznek. Természetesen ez is definiálható pontosan.

Elemi tulajdonságok

A szabad csoportok néhány tulajdonsága a definícióból közvetlenül adódik:

  • Minden G csoport valamely F(S) szabad csoport homomorf képe, ahol S a generátorhalmaz. A természetes leképezés epimorfizmus. Ebből következik az állítás.
  • Ha S több, mint egy elemmel rendelkezik, akkor F(S) nem kommutatív, azaz nem Abel-csoport.
  • Két F(S), F(T) szabad csoport akkor és csak akkor izomorf, ha S és T számossága megegyezik. Ezt a számosságot nevezik a szabad csoport rangjának is. Így tehát minden k számossághoz, az izomorfizmus erejéig, pontosan egy szabad csoport létezik.

Lásd még