„Uniform tér” változatai közötti eltérés

Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
1 310 bájt hozzáadva ,  13 évvel ezelőtt
kiegeszitesek
(+iwk)
(kiegeszitesek)
[[Matematika|Matematikában]], azon belül a [[topológia]] területén használatos fogalom az '''uniform tér''', ami az ''egyenletes'' tulajdonságokat ([[teljes]]ség, [[egyenletes konvergencia]], [[egyenletesen folytonos]]) igyekszik megragadni. ErősebbekEgy uniform tér nem más, mint egy '''uniform struktúrával''' felruházott halmaz. Erősebb, mint aegy [[topologikus tér|topologikus terek]] (minden uniform tér egyben topologikus tér is), de általánosabbakáltalánosabb, mint aegy [[metrikus tér|metrikus terek]] vagy aegy [[topologikus csoport]]ok.
 
==Definíció==
===Szomszédsággal===
Egy uniform tér egy halmaz-párból áll, <math>(X, \Phi)</math>, ahol <math>X</math> a tér alaphalmaza, <math>\Phi\subseteq 2^{X\times X}</math> pedig a szomszédságok (franciául ''entourage'' franciául) halmaza, a következő feltételekkel:
 
# Minden <math>U\in\Phi</math> tartalmazza az átlót: <math>\{(x, x): x\in U\}</math>
# Ha <math>U\in\Phi</math>, akkor létezik egy <math>V</math> eleme <math>\Phi</math>-nek, hogy valahányszor <math>(x, y)\in V</math> és <math>(y, z)\in V</math>, akkor <math>(x, z)\in U</math>
# Minden <math>U\in\Phi</math>-hez annak „tükörképe”, <math>\{(y, x):(y, x)\in U\}</math> is eleme <math>\Phi</math>-nek.
 
===Uniform fedéssel===
{{csonk-szakasz}}
 
==Kapcsolat más struktúrákkal==
Bármely <math>(X, \Phi)</math> metrikus térhez hozzárendelhető egy uniform struktúra oly módon, hogy egy <math>V\subseteq X\times X</math> pontosan akkor lesz szomszédság, ha létezik egy <math>\varepsilon>0</math> valós szám, hogy minden <math>x</math>, <math>y</math> párra, ha <math>d(x, y)<\varepsilon</math>, akkor <math>(x, y)</math> benne van <math>V</math>-ben.
 
Egy <math>G</math> topologikus csoport uniform struktúrája úgy definiálható, hogy egy <math>V</math> halmaz pontosan akkor legyen szomszédság, amennyiben létezik az [[egységelem]]nek egy <math>U</math> [[környezet (topológia)|környezet]]e, hogy <math>\{(x, y):x\cdot y^{-1}\in U\}</math> része <math>V</math>-nek.
 
Minden uniform téren természetes módon értelmezhető egy topologikus struktúra, nevezetesen egy <math>G</math> halmaz pontosan akkor legyen [[nyílt]], ha bármely <math>x\in G</math>-hez létezik egy olyan <math>V</math> szomszédság, hogy <math>V[x]</math> (<math>V</math>-nek <math>x</math>-szel vett szelete, azaz <math>\{y: (x, y)\in V\}</math>) része legyen <math>G</math>-nek. Két különböző uniform térnek lehet azonos a topologikus struktúrája.
 
{{csonk-mat}}
36

szerkesztés

Navigációs menü