Fermat-prímteszt

A Fermat-prímteszt (vagy Fermat-féle prímszámpróba) egy valószínűségi prímteszt. A kis Fermat-tételen alapul, ami kimondja, hogy ha p prím, akkor a^p-1 kongruens 1 mod p, ha p nem osztója a-nak.

Menete

Meg kívánjuk vizsgálni, hogy n szám 1-nél nagyobb páratlan egész prím-e. Legyen 1<a<n. Euklidészi algoritmussal ellenőrizhető, hogy n és a relatív prímek. Ha nem azok, akkor n bukja a tesztet, összetett.

Ha n prím, akkor a^n-1 kongruens 1 mod n. Ha nem így van, akkor n bukja a tesztet, összetett. Ha igen, akkor újabb véletlen a -val folytatódik a vizsgálat, egészen addig, amíg eléggé biztossá nem válik, hogy n valószínűleg prím. A legtöbb összetett szám ugyanis legfeljebb 1/2 valószínűséggel állja a tesztet egy véletlen a -ra.

Futási ideje moduláris hatványozással O(k × log²n × log log n × log log log n), ahol k a fordulók száma, azaz ennyi véletlen alapra megy a tesztelés.

Álprímek

b_i Ha n összetett, és a^n-1 kongruens 1 mod n valamely a -ra, akkor n a alapú álprím, másként pszeudoprím. Ilyen például a 341, ami álprím a 2 alapra.

Ha a kongruencia minden, az n -hez relatív prím a -ra fennáll, akkor n univerzális álprím, más néven Carmichael-szám. A legkisebb ilyen szám az 561. Végtelen sok ilyen szám van, de viszonylag kevés.

Legyen most n páratlan pozitív egész. Teljesül a következő

Tétel:

1. n akkor és csak akkor álprím a b alapra, ha a mod n maradékosztályok csoportjában b rendje osztója n-1 -nek.

2. Legyen lnko(b₁,n)=lnko(b₂,n)=1. Ha n álprím a b₁ és a \b₂ alapra nézve, akkor álprím a \b₁b₂, és a b₁b₂⁻¹ alapokra is, ahol b₂⁻¹ a redukált mod n maradékosztályok csoportján értendő.

3. Ha n csak egyetlen hozzá relatív prím t -re is bukja a Fermat-tesztet, akkor a redukált maradékosztályoknak legalább a felére bukja.

Bizonyítás:

1. Ha b d rendje osztója n-1 -nek, akkor bn-1 kongruens 1 mod n, mert akkor n-1=kd valamely egész k -ra, így b^n-1=b^(kd)=(b^d)k kongruens 1^k=1 mod n.

Vizsgáljuk most a redukált mod n maradékosztályokat. Ha ebben a csoportban valamely elemre igaz az, hogy a^n-1 kongruens 1 mod n, és egy másik k kitevőre is kongruens 1 mod n, akkor a^(n-1-k) kongruens 1 mod n is teljesül. Így le lehet folytatni az euklideszi algoritmust, és kiderül, hogy d=lnko(n-1,k) -ra is igaz, hogy a^d kongruens 1 mod n. Tehát van egy d osztója n-1 -nek, amire a kongruencia teljesül.

Ha a legkisebb ilyen k -t vesszük, akkor ez az előzőek szerint osztója lesz n-1 -nek, mert ha nem lenne meg maradéktalanul benne, akkor az a maradék kisebb lenne. Ez a legkisebb k kitevő pedig definíció szerint a maradékosztályának rendje a redukált maradékosztályok csoportjában.

2. Az kell, hogy az ilyen redukált maradékosztályok csoportot alkotnak. Ez így van, mert egyrészt (b₁)^d(b₂)^d=(b₁b₂)^d (merthogy a redukált maradékosztályok csoportja kommutatív). Másrészt, ha b rendje d, akkor inverzének rendje is d

3. Legyenek most b₁<b₂< … <b_k páronként inkongruens alapok, amelyekre n álprím. Most tekintsünk egy olyan n -hez relatív prím t -t, amelyre n bukja a tesztet. Szorozzuk meg vele az előbbi b₁<b₂< … <b_k számokat, ezek páronként inkongruensek lesznek.

Állítás - n bukja a tesztet ezekre a tb₁<tb₂< … <tb_k számokra.

Tegyük fel indirekt, hogy tb_i -re nem bukja a tesztet, azaz n álprím erre az alapra. Ekkor mod n számolva a redukált maradékosztályok csoportjában n a tb_ib_i⁻¹ maradékosztály minden elemére álprím, így a t számra is, ami ellentmondás.

A Carmichael-számok karakterizációja

Tétel:

Legyen n páratlan összetett szám. n akkor és csak akkor Carmichael-szám, ha teljesülnek rá a következők:

1. n négyzetmentes

2. Minden p prímosztójára p-1 osztója n-1 -nek.

Bizonyítás

1. Tegyük fel, hogy p² osztója n -nek. Belátjuk, hogy n nem lehet Carmichael-szám.

Mivel n páratlan, azért p>2. Vegyünk egy g primitív gyököt p². Legyen m a legnagyobb olyan osztója n -nek, ami négyzetmentes, és nem osztható p -vel. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

b kongruens g mod p^2

b kongruens 1 mod m

Ez megoldható, mert m és p^2 relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Állítás - n bukja a tesztet a b alapra nézve.

Tegyük fel indirekt, hogy b^(n-1) kongruens 1 mod n. Ekkor a kongruencia p² -re is teljesül, hiszen p² osztója n -nek. b mod p² rendje osztója n-1 -nek, de b primitív gyök mod p². Ezért p-1 és p is osztója n-1 -nek, és ez ellentmondás, mert két szomszédos egész szám mindig relatív prím egymáshoz.

2. Legyen most n páratlan, összetett és négyzetmentes. Ha most b relatív prím n -hez, akkor a Fermat-tétel szerint teljesül b^(p-1) kongruens 1 mod p. Mivel p osztója n -nek, azért b^(n-1) kongruens 1 mod p fennáll minden b relatív prímre és p prímosztóra. Tekintsük a következő kongruenciarendszert:

b kongruens g mod p

b kongruens 1 mod m,

ahol m=n/p, és g primitív gyök mod p

Ez megoldható, mert m és p² relatív prímek. Vegyük a kongruenciarendszer egy b megoldását.

Következik, hogy b^n-1 kongruens g^n-1 mod p. Ez teljesül, ha p-1 osztója n-1 -nek, ugyanis g rendje p-1 mod p, és éppen ez az állítás. Különben b^(n-1) nem kongruens 1 mod p, így b^p-1 nem kongruens 1 mod n

Források

• N. Koblitz: A Course in Number Theory and Cryptography 1994
• Freud Róbert - Gyarmati Edit: Számelmélet
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Pages 889–890 of section 31.8, Primality testing.