Catalan-sejtés

A Catalan-sejtés a számelmélet egyszerűen megfogalmazható sejtése, amelyet belga Eugène Charles Catalan fogalmazott meg 1844-ben. A sejtés szerint a 8= 2³ és 9 = 3² az egyetlen példa közvetlen egymásutáni teljes hatványokra.

Másképpen a Catalan-sejtés azt állítja, hogy az

x^a ‒ y^b = 1

egyenlet egyetlen megoldása x,a,y,b > 1 egész számok esetén:

3²  ‒ 2³ = 1

Ez az egyik klasszikus példa úgynevezett exponenciális diofantoszi egyenletre. Könnyen látható, hogy elég azt az esetet belátni, amikor a, b prímszámok. Carl Ludwig Siegel egy 1929-es tételéből következik, hogy rögzített a, b esetén csak véges sok megoldás van. Robert Tijdeman 1976-ban, felhasználva Alan Baker logaritmusok lineáris kombinációira adott elméletét, bebizonyította, hogy összesen is csak véges sok ilyen számpár van. Végül Preda Mihǎilescu 2002-ben bebizonyította Catalan-sejtését, tehát az most már sejtésből tétellé vált.

Külső hivatkozások

• http://www.maa.org/mathland/mathtrek_06_24_02.html
• P. Mihailescu (2004). „Primary cyclotomic units and a proof of Catalan’s conjecture” (angol nyelven). Crelle's Journal (572), 167–195. o.