„Szferoid” változatai közötti eltérés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
[nem ellenőrzött változat][nem ellenőrzött változat]
Tartalom törölve Tartalom hozzáadva
Alisango (vitalap | szerkesztései)
38. sor: 38. sor:
A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a [[Föld]], illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például [[Jupiter]], [[Szaturnusz]]) meghatározásában.
A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a [[Föld]], illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például [[Jupiter]], [[Szaturnusz]]) meghatározásában.


Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot.
Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében ez a [[geoid]].

<!--A Föld alakjára már egy ideje a geoid elnevezést használják, aminek az alakja nem a forgási ellipszoidra hasonlít, hanem egy körtére-->


Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. [[Magyarország]] a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a [[II. világháború]] utáni háromszögeléshez a [[Kraszovszkij]]-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer [[EOV]] létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A [[GPS]] (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.
Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. [[Magyarország]] a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a [[II. világháború]] utáni háromszögeléshez a [[Kraszovszkij]]-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer [[EOV]] létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A [[GPS]] (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A lap 2012. június 1., 21:46-kori változata

Lencseszferoid
Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata

Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

és a lencseszferoidé

Felszíne

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

,

és a lencseszferoidé

.

Gyakorlati jelentősége

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében ez a geoid.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a II. világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése

Legyen az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid

Az első Guldin-szabállyal

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

Behelyettesítve

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

és behelyettesítve az és értékeket kapjuk a következőt:

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Tojás forma

A tyúktojás alakja - jó közelítéssel - két összeillesztett fél orsószferoiddal helyettesíthető, melyeknek a rövidebb tengelyei egyenlőek, azonban a hosszabb tengelyei eltérő hosszúságúak. A normál tyúktojás átlagos arányai megközelítőleg: rövidtengely : hosszútengely = 0,762 : 1; A rövidtengely 0,456 : 0,544 arányban metszi a hosszútengelyt. (Empirikus értékek alapján.) A tyúktojás felszín és térfogat számítása a tengelyarányokkal kiszámított "rövidebb" és "hosszabb" fél orsószferoid összegével határozható meg.

Lásd még