Formális hatványsor

Ha egy adott gyűrű feletti végtelen sorozatokon ahhoz hasonlóan értelmezünk két, összeadásnak és szorzásnak nevezett műveletet, ahogyan azt a végeredményben véges sorozatokként definiálható polinomok esetében tennénk, akkor jutunk az általánosabb formális hatványsor fogalmához.

Definíció

A formális hatványsorok éppen úgy végtelen összegek, mint a nem formálisak. A műveleteket is ugyanúgy végezzük rajtuk, mint a valódi hatványsorokon. A konvergenciával azonban nem foglalkozunk.

Összeadás:

$f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n},$

ahol a_n és b_n gyűrűelem.

Skalárral szorzás:

$cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n},$

ahol c gyűrűelem.

Szorzás:

${\begin{aligned}f(x)g(x)&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}\end{aligned}}$

ahol minden együttható gyűrűelem

Ekvivalens definíció

Legyen $R=\left(U,+,\times \right)$ tetszőleges gyűrű, és tekintsük az $R$ feletti $R_{\mathbb {N} }=\left\{\left(r_{n}\right)^{n\in \mathbb {N} }\ |\ r\in R\right\}$ végtelen $\left(r_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }=\left(r_{0},r_{1},r_{2},r_{3},....\right)$ sorozatok halmazát (megjegyzés, $K^{D}$ -vel a D halmazból a K halmazba képező függvények halmazát jelöljük általában is).

Értelmezünk ezek között, tehát $R_{\mathbb {N} }$ felett két kétváltozós $\oplus$ és $\otimes$ műveletet a következőképp:

• $\oplus :R^{\mathbb {N} }\times R^{\mathbb {N} }\mapsto R^{\mathbb {N} };(r_{i})_{i\in \mathbb {N} }\oplus (s_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(r_{i}+s_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ ; ez tehát egyszerűen két végtelen hosszú vektor koordinátánkénti összegzése (+ az R gyűrűbeli összeadás);
• A szorzás azonban nem koordinátánkénti szorzás, hanem: $\otimes :R^{\mathbb {N} }\times R^{\mathbb {N} }\mapsto R^{\mathbb {N} };(r_{i})_{i\in \mathbb {N} }\otimes (s_{i})_{i\in \mathbb {N} }=(\sum _{j=0}^{i}r_{j}s_{i-j})_{i\in \mathbb {N} }$ .

Belátható, hogy ezek a műveletek éppen a fenti műveletzeknek felelnek meg.

A $K[[x]]:=\left(R^{\mathbb {N} },\oplus ,\otimes \right)$ algebrai struktúra szintén gyűrű. Ezt nevezzük az $R$ feletti formális hatványsorok gyűrűjének.

Polinomok

A polinomok véges összegként definiálhatók. A hatványsorok közül éppen azok polinomok, amelyekben csak véges sok együttható nem nulla. A legnagyobb indexű nem nulla együttható indexe a polinom foka. A nullpolinom fokát nem definiáljuk.

Ha egy $\left(s_{i}\right)\in R^{\mathbb {N} }$ sorozatnak van olyan indexe (ti. olyan indexű tagja), melytől kezdve nulla (az összes nála nagyobb indexú tagja nulla), akkor az ilyen indexet (gyenge v. tágabb értelemben vett) eltűnési indexnek nevezünk. A sorozat eltűnési indexeinek halmazát $E\left(\left(s_{i}\right)\right)=\left\{j\in \mathbb {N} \ |\forall k\in \mathbb {N} :j\leq k\Rightarrow s_{k}=0\right\}\subseteq \mathbb {N}$ -vel jelöljük (definiálható a szigorú eltűnési index is, ha ≤ helyett <-t írunk a definícióban). Nincs minden sorozatnak eltűnési indexe; azaz e halmaz üres is lehet bizonyos sorozatokra; ha azonban nem üres, akkor a sorozatot polinomnak nevezzük.

Pontosan egyetlen olyan sorozat van, melynek minden indexe eltűnési index, mégpedig az a sorozat, melynek minden tagja 0. E sorozat a nullpolinom.

Tulajdonságok

• A véges testek fölötti egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűt alkotnak, aminek részgyűrűje a polinomgyűrű
• Gyűrű feletti polinomgyűrű, és az ugyanazon gyűrű fölött vett formális hatványsorok gyűrűje egyszerre kommutatív, egységelemes vagy nullosztómentes, ha az alapgyűrű is az
• Ha s egy egységelemes gyűrű fölötti hatványsor, és $k\in \mathbb {N} _{0}$, akkor $(x^{k}\mathbf {s} )_{i}=0$, ha i > k, és $(x^{k}\mathbf {s} )_{i}=\mathbf {s} _{i-k}$, ha $k\leq i\in \mathbb {N} _{0}$
• Az egy határozatlanú formális hatványsorok gyűrűje egyben modulus is az alapgyűrű fölött. Ez a modulus pontosan akkor unitér, ha az alapgyűrű egységelemes. Pontosan akkor vektortér, ha az alapgyűrű ferdetest, és pontosan akkor algebra, ha az alapgyűrű test. Ekkor rangja végtelen. Hasonlóak érvényesek a polinomgyűrűre is
• Hatványsor akkor és csak akkor egység, ha konstans tagja egység az alapgyűrűben. Speciálisan, ferdetest feletti formális hatványsor pontosan akkor egység, ha konstans tagja nem nulla
• Hatványsor akkor és csak akkor felbonthatatlan, ha konstans tagja az alapgyűrűben felbonthatatlan
• Ha az alapgyűrű test, akkor a formális hatványsorok gyűrűje euklideszi
• Test feletti hatványsorok gyűrűjének elemei $x^{u}\mathbf {s}$ alakúak, ahol u egész. Ez a test az alaptest fölötti Laurent-sorok testje

Forrás

Gonda János: Véges testek [compalg.inf.elte.hu/material/DOWNLOAD/vt.pdf]