Smith–Volterra–Cantor-halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A fekete intervallumok elhagyása után megmaradó fehér pontok 1/2 mértékű, sehol sem sűrű halmazt alkotnak

A Smith–Volterra–Cantor-halmaz (SVC) a valós számok egy olyan részhalmaza, amely bár sehol sem sűrű, Lebesgue-mértéke mégis pozitív.

Konstrukció[szerkesztés]

A Cantor-halmaz konstrukciójához hasonlóan most is a [0, 1] intervallum bizonyos részintervallumait fogjuk elhagyni: az n. lépésben mindegyik megmaradt intervallumunk közepéből egy-egy 2-2n hosszú nyílt intervallumot dobunk el. Vagyis az első lépés után a

halmazt kapjuk, a második után a

halmazt stb.

Smith-Volterra-Cantor set.svg

Ha az n. lépés után megmaradó pontok halmazát jelöli, akkor a halmazt nevezzük Smith–Volterra–Cantor-halmaznak. Más szavakkal: azon pontok lesznek az SVC elemei, amelyeket egyik lépésben sem dobtuk el.

Figyeljük meg, hogy minden lépésben a megmaradt pontok egyre kisebb hányadát vesszük ki, ellentétben a Cantor-halmaz konstrukciójával, ahol mindig a megmaradt halmaz 1/3-át dobjuk el. Intuitíven ez az "oka", hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz mértéke pozitív, a Cantor-halmazé viszont zérus.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A konstrukció alapján látható, hogy a Smith–Volterra–Cantor-halmaz nem tartalmaz intervallumot, azaz nincs belső pontja. Mivel zárt halmazok metszeteként áll elő, így maga is zárt halmaz. Sehol sem sűrű, hiszen a lezártjának nincs belső pontja (zárt halmaz lévén a lezártja önmaga).

Világos, hogy a halmaz mértéke 1/2, hiszen az eldobott intervallumok összhossza:

Lásd még[szerkesztés]

  • Az SVC-t használjuk a Volterra-függvény konstrukciójánál (lásd a külső hivatkozást)
  • Az SVC példa nem Jordan-mérhető kompakt halmazra.
  • Az SVC indikátorfüggvénye példa olyan korlátos függvényre, amely nem Riemann-integrálható (0,1)-en, és nem egyezik meg majdnem mindenütt egy Riemann-integrálható függvénnyel.

Források[szerkesztés]