Rupert-féle kocka

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Egységkocka a Rupert-féle kocka számára vágott lyukkal

A geometriában a Rupert-féle kocka a legnagyobb kocka, amely átfér egy egységkockán vágott lyukon. A Rupert-féle kocka élhossza mintegy 6%-kal haladja meg az egységkockáét. Egy rokon probléma az, hogy keressük meg a legnagyobb négyzetet, ami egy kockában elfér. Ebben a négyzet oldalhossza megegyezik a Rupert-féle kocka élhosszával. A kockát Rupert pfalzi hercegről nevezték el, aki a 17. században először foglalkozott a problémával.[1][2][3]

Megoldás[szerkesztés]

Ha az egységkocka két szomszéd élén kiválasztjuk azt a két pontot, amelyek a két él közös csúcsától számítva 3/4 távolságra helyezkednek el, akkor a pontok közötti távolság

A szemközti pontokkal együtt alkotott négyzet teljesen a kockában van. Ezt a négyzetet a síkjára merőlegesen mindkét irányban meghosszabbítva egy olyan lyukat alkot, amin átfér egy egységnyinél nagyobb élhosszú kocka.[3]

Az egységkocka maradék részei két háromszögű prizma és két nem szabályos tetraéder, amelyeket a négyzet csúcspontjai kapcsolnak össze. Egy-egy prizma hat csúcsából kettő a kocka csúcsa, a többi pont ezektől a csúcsoktól 1/4 távolságra van. A tetraéderek egyik csúcsa a kocka csúcsa, a többi közül kettő 3/4, egy 3/16 távolságra van az adott csúcsból kiinduló élen.

Története[szerkesztés]

A Rupert-féle kockát Rupert pfalzi herceg után nevezték el, aki egy John Wallis angol matematikustól származó 1693-as történet[4] szerint fogadott arra, hogy egy kockán vágható akkora lyuk, hogy egy másik ugyanolyan kockát át lehessen rajta tolni. Wallis megmutatta, hogy ez lehetséges, így a herceg megnyerte a fogadást.[1][2]

Wallis feltette, hogy a lyuknak párhuzamosnak kell lennie a kocka térátlójával. Az erre az átlóra merőleges síkra vetítve a kocka képe szabályos hatszög, és a térátlóval párhuzamos legjobb lyuk az ebbe a hatszögbe írt lehető legnagyobb négyzet. Kiszámítva ennek oldalhosszát, kapjuk, hogy

,

azaz az eredetinél egy kicsit nagyobb kocka átfér rajta.

Körülbelül száz év múlva a holland Pieter Nieuwland felfedezte, hogy Wallis nem a lehető legnagyobb lyukat találta meg: az optimális megoldásban a lyuk nem párhuzamos a térátlóval. Nieuwland 1794-ben meghalt, egy évvel azután, hogy professzor lett Leidenben. Eredményét mentora, Jean Henri van Swinden hozta nyilvánosságra 1816-ban.[1][2]

Azóta a Rupert-féle kocka a matematikai ismeretterjesztés népszerű témájává vált, számtalan könyvben szerepel (nem ritkán a nem-optimális, Wallis-féle megoldással).[3][5][6][7][8][9][10][11][12]

Modellek[szerkesztés]

A modellalkotást megnehezíti, hogy nagyon pontosnak kell lenni, és az, hogy a megmaradt darabok egy-egy ponton függnek össze. Emiatt a problémát szokás elméletileg lehetségesnek, de gyakorlatilag lehetetlennek mondani.[13] Ezzel szemben 1950-ben D. J. E. Schrek fényképeket adott ki egy kockamodellről, amely egy másik kockába vágott lyukba illeszkedett.[14] Martin Raynsford egy sablonnal tervezett modelleket, azonban ezeken a modelleken a lyuk jóval kisebb, mint az a kocka, aminek át kellene rajta haladnia.[15]

Általánosítások[szerkesztés]

A kocka nem az egyetlen test, ami át tud haladni saját másolatán. Hasonlók igazak a szabályos tetraéderre és oktaéderre is.[16]

A probléma egy másik megfogalmazása a legnagyobb négyzetet keresi a kockában. Általánosabban, (Jerrard & Wetzel 2004) megmutatta, hogyan lehet megtalálni a lehető legnagyobb rögzített oldalarányú téglalapot. Ezek a téglalapok mind átmennek a kocka középpontján, és csúcsaik a kocka éleire illeszkednek. Innen kiindulva megmutatták, hogy a téglalap vagy abban a síkban fekszik, amely átlósan átmegy a kocka négy csúcsán, vagy a Rupert-féle kockához hasonlóan, egy egyenlő szárú derékszögű háromszög által meghatározott két pont és szemközti párjaik lesznek a téglalap csúcsai.[2] A legnagyobb területű téglalap egyik oldalpárja a kockának is éle, másik oldalpárja pedig a kocka lapátlója.[17]

A kérdés más dimenziókban is feltehető, vagyis keressük a legnagyobb dimenziós hiperkockát, amely teljes egészében része egy dimenziós hiperkockának. Az arányszám mindig algebrai. Az eset egy kockát keres egy 4 dimenziós hiperkockában. Martin Gardner a Scientific Americanben feltett kérdésére Kay R. Pechenick DeVicci és több más olvasó belátta, hogy a (3,4) esetben ez a szám kisebb, mint a kisebbik gyökének a négyzetgyöke, ami megközelítőleg 1,007435.[3][18] Az esetén a legnagyobb négyzetet keressük az dimenziós hiperkockában. Ha páros, akkor a négyzet oldala , ha páratlan, akkor .[19]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. a b c Rickey, V. Frederick (2005), Dürer’s Magic Square, Cardano’s Rings, Prince Rupert’s Cube, and Other Neat Things. Notes for “Recreational Mathematics: A Short Course in Honor of the 300th Birthday of Benjamin Franklin,” Mathematical Association of America, Albuquerque, NM, August 2-3, 2005.
  2. a b c d Jerrard, Richard P. & Wetzel, John E. (2004), "Prince Rupert's rectangles", The American Mathematical Monthly 111 (1): 22–31, DOI 10.2307/4145012.
  3. a b c d Gardner, Martin (2001), The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems : Number Theory, Algebra, Geometry, Probability, Topology, Game Theory, Infinity, and Other Topics of Recreational Mathematics, W. W. Norton & Company, pp. 172–173, ISBN 9780393020236, <https://books.google.com/books?id=orz0SDEakpYC&pg=PA172>.
  4. John Wallis: De algebra tractatus, historicus & practicus ... cum variis appendicibus ... Operum Mathematicorum volumen alterum. (Hozzáférés: 2014. október 23.)
  5. Wells, David (1997), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (3rd ed.), Penguin, p. 16, ISBN 9780140261493, <https://books.google.com/books?id=kQRPkTkk_VIC&pg=PA16>.
  6. Ozanam, Jacques (1803), Montucla, Jean Étienne & Hutton, Charles, eds., Recreations in Mathematics and Natural Philosophy: Containing Amusing Dissertations and Enquiries Concerning a Variety of Subjects the Most Remarkable and Proper to Excite Curiosity and Attention to the Whole Range of the Mathematical and Philosophical Sciences, G. Kearsley, pp. 315–316, <https://books.google.com/books?id=s_IJAAAAMAAJ&pg=PA315>.
  7. Dudeney, Henry Ernest (1936), Modern puzzles and how to solve them, p. 149
  8. Ogilvy, C. Stanley (1956), Through the Mathescope, Oxford University Press, pp. 54–55. Reprinted as Ogilvy, C. Stanley (1994), Excursions in mathematics, New York: Dover Publications Inc., ISBN 0-486-28283-X, <https://books.google.com/books?id=WLcTi34V1ecC&pg=PA54>.
  9. Ehrenfeucht, Aniela (1964), The cube made interesting, New York: The Macmillan Co., p. 77. Translated from the Polish by Waclaw Zawadowski.
  10. Stewart, Ian (2001), Flatterland: Like Flatland Only More So, Macmillan, pp. 49–50, ISBN 9780333783122.
  11. Darling, David (2004), The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes, John Wiley & Sons, p. 255, ISBN 9780471667001, <https://books.google.com/books?id=HrOxRdtYYaMC&pg=PA255>.
  12. Pickover, Clifford A. (2009), The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics, Sterling Publishing Company, Inc., p. 214, ISBN 9781402757969, <https://books.google.com/books?id=JrslMKTgSZwC&pg=PA214>.
  13. Sriraman, Bharath (2009), "Mathematics and literature (the sequel): imagination as a pathway to advanced mathematical ideas and philosophy", in Sriraman, Bharath; Freiman, Viktor & Lirette-Pitre, Nicole, Interdisciplinarity, Creativity, and Learning: Mathematics With Literature, Paradoxes, History, Technology, and Modeling, vol. 7, Montana Mathematics Enthusiast Monograph Series in Mathematics Education, Information Age Publishing, Inc., pp. 41–54, ISBN 9781607521013.
  14. Schrek, D. J. E. (1950), "Prince Rupert’s problem and its extension by Pieter Nieuwland", Scripta Mathematica 16: 73–80 and 261–267. As cited by (Rickey 2005) and (Jerrard & Wetzel 2004).
  15. Hart, George W. (January 30, 2012), Math Monday: Passing a Cube Through Another Cube, Museum of Mathematics, <http://momath.org/home/math-monday-passing-a-cube-through-another-cube/>. Originally published in Make Online.
  16. Scriba, Christoph J. (1968), "Das Problem des Prinzen Ruprecht von der Pfalz", Praxis der Mathematik 10 (9): 241–246.
  17. Thompson, Silvanus P. & Gardner, Martin (1998), Calculus Made Easy (3rd ed.), Macmillan, p. 315, ISBN 9780312185480, <https://books.google.com/books?id=BBIFtid-WdUC&pg=PA315>.
  18. Guy, Richard K. & Nowakowski, Richard J. (1997), "Unsolved Problems: Monthly Unsolved Problems, 1969-1997", The American Mathematical Monthly 104 (10): 967–973, DOI 10.2307/2974481.
  19. Weisstein, Eric W.: Cube Square Inscribing (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Prince Rupert's cube című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Külső hivatkozások[szerkesztés]