Riemann-tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Riemann tenzor szócikkből átirányítva)

A Riemann-tenzor vagy Riemann–Christoffel-tenzor a tér görbületét leíró tenzor, melyet Bernhard Riemannról és Elwin Bruno Christoffelről neveztek el.

Definíció[szerkesztés]

A sokaság belső geometriájára jellemző görbületet a görbületi tenzor vagy Riemann-tenzor írja le. Az u és v vektormezők kommutációs tulajdonságait vizsgálva, definiálhatjuk a következő vektort


Itt nabla a kovariáns deriváltat jelöli. A fenti egyenletben fellépő R tenzort nevezzük görbületi vagy Riemann-tenzornak.

A Riemann-tenzor lokális koordinátákban[szerkesztés]

A Riemann-tenzort felírhatjuk lokális koordinátákban a Christoffel-szimbólumok segítségével:


ahol , és a kétszer előforduló indexekre automatikus összegzés értentő (Einstein-féle összegzési konvenció).

A teljesen kovariáns alakja pedig a következő

itt a metrikus tenzort jelöli.

Bianchi-azonosságok[szerkesztés]

A Riemann-tenzorral kapcsolatban bebizonyíthatóak az ún. Bianchi-azonosságok.

Az első Bianchi-azonosság a következő:

Ezt szokás az alábbi rövidebb formában is használni:

itt a szögletes zárójel a tenzor antiszimmetrikus részét jelöli.

A második Bianchi-azonosság pedig a következő alakú:

vagy rövid formában

ahol a pontosvessző a kovariáns deriváltat jelöli.

Szimmetriái[szerkesztés]

A Riemann-tenzor az indexpárjaiban szimmetrikus

Az első két indexében és az utolsó két indexében pedig antiszimmetrikus:

Források[szerkesztés]