Reciprokrács

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy kétdimenziós rács (balra) és annak reciprokrácsa (jobbra).

A szilárdtestfizikában reciprokrácsnak nevezzük azt a rácsot, melyet egy direkt térbeli rács (például egy Bravais-rács) Fourier-transzformálásával kapunk. A direkt rács jellemzően pontok periodikus szerkezete a valós térben, mely a kristály geometriai absztrakciója, míg a reciprokrács a reciproktérben (más kifejezéssel momentumtérben, hullámszámtérben vagy k-térben) adható meg. A reciprokrács reciprokrácsa (a Fourier-transzformáció jellemzőiből adódóan) maga a direkt rács.

A reciprokrács nem pusztán elméleti konstrukció, az anyagtudományban és a kristálytanban igen gyakran meghatározzák. Gyakori példák a diffrakciós kísérletek értelmezése a reciprokrács segítségével, az Ewald-szerkesztés, a rácssíkok, irányok jellemzése Miller-indexekkel, stb.

Matematikai háttér[szerkesztés]

Tekintsük az R direkttérbeli rácsvektorok által kijelölt R pontokat, melyek egy Bravais-rácsot alkotnak. Egy síkhullám hullámegyenlete ekkor:

.

Ha ennek a síkhullámnak a periódusa megegyezik a Bravais-rács periódusával, akkor érvényes a következő egyenlet:

,
,
.

Megadhatjuk a reciprokrácsot azon K vektorok halmazaként, melyek teljesítik a fenti összefüggést az összes R direktrács-vektorral. A reciprokrács szintén Bravais-rács lesz, melynek reciproka ismét visszaadja a direkt rácsot.

Egy primitív rácsvektorokkal megadott végtelen kétdimenziós rács reciprokrácsának rácsvektorai az alábbiak szerint fejezhetők ki:

,
,

ahol "" tenzorszorzatot jelöl az és egységvektorok között.

A , primitív rácsvektorokkal megadott háromdimenziós rács reciprokrács-bázisvektorai az alábbiak szerint adható meg:

,
,
.

A nevezők itt vegyes szorzatok. Ugyanez kifejezhető másféleképpen is, ha a vektorokat oszlopvektorként tekintve mátrix-formalizmust használunk, ekkor a reciprokrács-bázisvektorok mártix invertálással fejezhetők ki:

Ez utóbbi definíció lehetőséget ad a magasabb dimenziók esetére való általánosításra, míg a vegyes szorzaton alapuló definíció inkább a háromdimenziós esetben célszerű, így az elterjedtebb a kristálytanban és az anyagtudományos méréstechnikában.

A fentivel analóg módon úgy is definiálhatjuk a reciprokrács-vektorokat, hogy a konstans előtagot a feltételben vesszük figyelembe, amivel a reciproktérbeli bázis vektorai:

,

alakba írhatók (a többi vektor ezzel analóg). Ennek a definíciónak, melyet a kristálytani gyakorlatban gyakran alkalmaznak, az az előnye, hogy a vektor hossza ekkor éppen hosszának reciproka lesz. Ekkor a reciprokrács-vektor valójában térfrekvenciaként fogható fel, melyhez könnyebb szemléletes fizikai magyarázatot adni. Adott alkalmazásban ügyelni kell rá, hogy a fenti két definíció közül mindig csak az egyiket alkalmazzuk.[1][2]

A reciprokrács egy fontos alkalmazása, hogy annak egy (hkl) koordinátájú pontja direkt térbeli rácssíkoknak és ezekre merőleges rácsirányoknak feletethető meg. A (hkl) indexeket Miller-indexeknek nevezzük. A reciprokrács-vektor hossza a direkt rács adott rácssíkjára merőleges rácssík-távolsággal hozható összefüggésbe

A reciprokrács a kristályanalitika egy alapvető fogalma, melyet a gyakorlatban is gyakran alkalmaznak például a diffrakciós vizsgálatok eredményeinek értelmezésére, például a röntgen-, elektron- és neutrondiffrakciós vizsgálatokban. A szórási kísérletekben a beeső és szórt nyaláb hullámszámának különbsége reciprok-rácsvektor, így a diffrakciós képből a reciprokrácsról nyerhető közvetlen információ.

A szilárdtestfizikában gyakran említett, a szilárdtestek jellemzőinek megértését szolgáló Brillouin-zóna valójában a reciprokrács Wigner–Seitz-cellája.

Néhány egyszerű rács reciprokrácsa[szerkesztés]

Egyszerű köbös rács[szerkesztés]

Az egyszerű köbös Bravais-rácsnak, melynek primitív cellája élhosszúságú kocka, a reciprokrácsa szintén köbös rács élhosszúsággal (a kristálytani definícióban ez ). Ezért azt mondhatjuk, hogy a kockarács önmaga duálisa.

Lapcentrált és tércentrált köbös rácsok viszonya[szerkesztés]

A lapcentrált köbös Bravais-rács (FCC) reciprokrácsa tércentrált köbös Bravais-rács (BCC). Ugyanígy, az összefüggés fordítva is teljesül.

Könnyen belátható továbbá, hogy csak a páronként 90 fokot bezáró bázisvektorokkal jellemezhető rácsokra (azaz az ortorombos, a tetragonális és a kockarács esetén) teljesül, hogy a reciprokrács-bázisvektok párhuzamosak a direktrács rácsvektoraival.

Egyszerű hexagonális rács[szerkesztés]

Az egyszerű, a és c rácsállandókkal jellemzett hexagonális rács reciprokrácsa szintén egyszerű hexagonális rács, melynek rácsállandói illetve és ezeka direkt rácsbeli c tengely körül 30°-kal elforgatottak.

A reciprokrács reciprokrácsára vonatkozó tétel bizonyítása[szerkesztés]

A következőkben megmutatjuk, hogy egy direkt rács reciprokrácsának reciprokrácsa maga a direkt rács.[1]

Tudjuk, hogy a Bravais-rácsvektorok zártak a vektorok összeadására és kivonására, azaz rácsvektorok összege és különbsége is rácsvektor. Ekkor ha tekintünk két rácsvektort, melyekre

,

és

,

akkor a két vektor összegére és különbségére is fennáll az összefüggés, azaz

.

Ebből következik, hogy a reciprokrács-vektorok is zártak az összeadásra és kivonásra. Továbbá bármely reciprokrács-vektor kifejezhetó a reciprokrács primitív vektoraival:

.

A definíciója alapján látható, hogy egy reciprokrács bázisvektorra tejlesül, hogy:

,

ahol a Kronecker delta. Legyen R direkt rácsbeli vektor, mely szintén felírható a direkt rácsbeli bázisban:

.

A fentiekből látjuk, hogy:

.

A definíció szerint a reciprok-rácsvektoroknak teljesíteniük kell az alábbi összefüggést:

Ez akkor teljesül, ha a szorzat egész számú többszöröse. Ez viszont teljesül, ugyanis , és . Azaz a reciprokrács szintén Bravais-rács. Továbbá ha a vektorok reciprokrácsot alkotnak, akkor bármely vektor, melyre tejlesül, hogy

az reciprokrács reciprokrácsának vektora lesz. vektor meghatározásából, ha éppen egy direkt rácsvektor, akkor visszakapjuk, hogy:

Ebből pedig következik a bizonyítandó állítás.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. ^ a b Sólyom Jenő: A modern szilárdtest-fizika alapjai I: Szerkezet és dinamika. Budapest: ELTE Eötvös Kiadó. 2009. ISBN 9789632840970  
  2. Charles Kittel: Bevezetés a szilárdtest-fizikába. Budapest: Műszaki Könyvkiadó. 1981.