Projektor mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A projektor mátrix vagy idempotens mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amelynek minden sajátértéke 0 vagy 1. Minden n×n-es projektor mátrixnak van n darab lineárisan független sajátvektora. Ha egy n×n-es projektor mátrix rangja n, akkor az az egységmátrix. Négyzetre (és ebből következően bármilyen hatványra) emelve önmagát eredményezi.

Példa[szerkesztés]

Így néz ki egy és egy idempotens mátrix: illetve

2 × 2 eset[szerkesztés]

Ha az mátrix idempotens, akkor

  • következik hogy tehát vagy
  • következik hogy tehát vagy

Egy 2 × 2-es mátrix tehát akkor idempotens, ha vagy diagonális mátrix vagy pedig nyoma 1. Megjegyzendő, hogy az idempotens diagonális mátrix esetében az és a értéke 1 vagy 0.

Ha b = c, akkor a mátrix idempotens lesz, feltéve ha vagyis a kielégíti a másodfokú egyenletet:

or

amelyik egy kör amelynek a középpontjának a koordinátái (1/2, 0) és a sugara 1/2.

A θ szög függvényében kifejezve,

idempotens.

A b = c nem egy feltétel,

bármelyik mátrix ahol idempotens.

Tulajdonságok[szerkesztés]

Az egységmátrix kivételével az idempotens mátrixok nem invertálható (szinguláris) mátrixok. Valóban, ha invertálható idempotens mátrix, akkor , ahonnan mindkét oldalt balról -zel szorozva adódik. Nem-triviális idempotens mátrixokban tehát a független sorok (és oszlopok) száma kisebb mint a sorok (és oszlopok) száma.

Ha az idempotens mátrixot kivonjuk az egységmátrixból, az eredmény egy szintén idempotens mátrix lesz, a következők szerint: [I − M][I − M] = I − M − M + M2I − M − M + MI − M.

Az mátrix idempotens akkor és csak is akkor, ha bármilyen pozitiv n számnál . Az„akkor” feltétel következik abból ha . A „csak is akkor” feltételt matematikai indukcióval lehet bizonyítani. Az esetében világos, hogy . Feltételezve hogy , akkor megfelel a követelménynek. Az indukciót alkalmazva az eredmény nyivánvaló.

Egy idempotens mátrix mindig átlósítható és a sajátértékei 0 vagy 1.[1] Egy idempotens mátrix nyoma (főátlójában lévő elemek összege) egyenlő a mátrix rangjával és az mindig egész szám. Ez egyszerűvé teszi egy olyan mátrix rangjának illetve a nyomának megállapítását aminek az elemei nem ismertek, ami a nagy segítséget nyújt különböző ökonometriai és valószínűség (Variancia) számításoknál.

Alkalmazások[szerkesztés]

Az idempotens mátrixok gyakran előfordulnak a regressziószámításban és az ökonometriában. Például a legkisebb négyzeteknél (OLS), a regressziós probléma egy olyan vektor választása ami minimálisra csökkenti a négyzetösszeg maradékokat (félrebecsléseket), ei. Mátrix formában:

ahol y a függő változó vektora és az X egy mátrix amelyiknek minden oszlopa egy független változó vektora.

A kapott együttható:

ahol a T egy transzponált mátrixot jelez és a maradék vektor

Itt, úgy az M mint az (projekciós) mátrix idenpotens és szimmetrikus, ami lehetővé teszi az egyszerűsítést a négyzetösszeg maradékok számításánál

Az M idempotenssége szerepet játszik más számításokban is, pl. egy együttható varianciájának a megállapításánál, .

Források[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Horn, Roger A.. Matrix analysis. Cambridge University Press, p. 148. o. (1990). ISBN 0521386322 

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben az Idempotent matrix című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.