A pi irracionálisságának bizonyítása

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Pi irracionálisságának bizonyítása szócikkből átirányítva)
Jump to navigation Jump to search

A pí szám irracionális. Jelen cikk ezt az állítást bizonyítja.

Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) bizonyítása a tangensfüggvényt és a lánctörteket használja. Lényege, hogy a racionális számok tangense irracionális. A π/4 tangense 1, így π/4, tehát π sem lehet racionális.

A bizonyításhoz két lemma tartozik:

1. lemma: legyen ahol és relatív prímek. Ekkor, ha véges kivétellel , akkor irracionális.

2. lemma: tangensének lánctört alakja:

Első lemma[szerkesztés]

Feltehető, hogy már az értéktől kezdve , kivételek nincsenek. Ekkor minden pozitív egész -re , és mivel az és egészek különbsége legalább 1, ezért . Mivel az érték feltevésünk szerint egynél kisebb, ezért nem tudja megváltoztatni az egész számok előjelét.

Az előjel nem változott, ennélfogva előjele megegyezik előjelével. Hasonlóan kaphatjuk, hogy előjele is megegyezik előjelével, és abszolútértéke egynél kisebb. Leszálló rekurzióval beláthatjuk, hogy előjele is ugyanez, és abszolútértéke nem lehet egynél nagyobb.

Az eseteket könnyen átvizsgálhatjuk. Ha , akkor tegyük fel indirekt, hogy racionális:

,

ahonnan . A szám olyan, mint a fenti , tehát egynél kisebb abszolútértékű, és . Ezt ismételve törtek végtelen sorozatához jutunk, ahol a számlálók abszolútértékben csökkenő egészek, ami ellentmondás.

Második lemma[szerkesztés]

A szinusz és a koszinusz sorfejtését felhasználva:

ahol

és hasonlóan írhatjuk, hogy Ezt folytatva kapjuk, hogy

a rekurziót feloldva

Innen már következik, hogy

Még bizonyítani kellene, hogy ez a sor a tangenshez konvergál. Ehhez a számlálók és a nevezők egyenletes konvergenciáját és határértékeit kell igazolni.

A tétel bizonyítása[szerkesztés]

A helyett használhatjuk a -t Legendre nyomán:

-től kezdve , tehát az első lemmával kapjuk, hogy , így is irracionális.

Források[szerkesztés]