Paralelogramma-azonosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy (V, ||.|| ) normált vektortérben paralelogramma-azonosságnak nevezzük a következő formulát:

\forall f,g\in V : ||f+g||^2+||f-g||^2=2||f||^2+2||g||^2\;

A formális azonosság geometriai elnevezése arra az analógiára utal, hogy a kétdimenziós euklideszi térben bármely paralelogrammában az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik a oldalak hosszának négyzetösszegével.

Az azonosságot teljesítő normált terek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Nem minden normált térben igaz az azonosság. Ellenben minden skalárszorzatos V tér esetén az ||x||:=<x,x> generált normával ellátva V paralelogramma-azonosságos tér. A megfordítás is igaz: Ha ||.|| olyan norma V felett, mellyel teljesül a paralelogramma-azonosság, akkor ||.|| segítségével definiálható V-n skalárszorzat (ez a Neumann-Jordan-tétel).

A paralelogramma-azonosságnak nagy jelentősége van az absztrakt függvényterek tárgyalásánál. Megmutatható például, hogy egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha teljesül benne a paralelogramma-azonosság.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
  • Mikolás Miklós, Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978