Paralelogrammaazonosság

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Paralelogramma-azonosság szócikkből átirányítva)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Egy (V, ||.|| ) normált vektortérben paralelogrammaazonosságnak nevezzük a következő formulát:

A formális azonosság geometriai elnevezése arra az analógiára utal, hogy a kétdimenziós euklideszi térben bármely paralelogrammában az átlók hosszának négyzetösszege megegyezik a oldalak hosszának négyzetösszegével.

Az azonosságot teljesítő normált terek[szerkesztés]

Nem minden normált térben igaz az azonosság. Ellenben minden skalárszorzatos V tér esetén az ||x||:=<x,x> generált normával ellátva V paralelogrammaazonosságos tér. A megfordítás is igaz: Ha ||.|| olyan norma V felett, mellyel teljesül a paralelogrammaazonosság, akkor ||.|| segítségével definiálható V-n skalárszorzat (ez a Neumann-Jordan-tétel).

A paralelogrammaazonosságnak nagy jelentősége van az absztrakt függvényterek tárgyalásánál. Megmutatható például, hogy egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér, ha teljesül benne a paralelogrammaazonosság.

Hivatkozások[szerkesztés]

  • Szőkefalvi-Nagy Béla, Valós függvények és függvénysorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972
  • Mikolás Miklós, Valós függvénytan és ortogonális sorok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1978