Nesbitt-egyenlőtlenség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search

A matematikában a Nesbitt-egyenlőtlenség a Shapiro-egyenlőtlenség egy speciális esete. Tegyük fel, hogy a, b és c pozitív valós számok. Ekkor:

Bizonyítás[szerkesztés]

Első bizonyítás[szerkesztés]

Kezdjük a Nesbitt-egyenlőtlenséggel (1903)

átalakítjuk a bal oldalát:

Átalakítva:

Majd pedig:

Most a bal oldalon van a számtani közép és jobbra a harmonikus közép, tehát ez az egyenlőtlenség igaz, hiszen a számtani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség igaz 3 pozitív szám esetén.

Második bizonyítás[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy . Ekkor viszont:

Felhasználva a rendezési egyenlőtlenséget tudjuk, hogy:

A kettőt összeadva kapjuk, hogy :

Ha ezt osztjuk 2-vel, akkor megkapjuk a kívánt állítást.

Harmadik bizonyítás[szerkesztés]

Legyen . Mivel az függvény konvex a szakaszon, így a Jensen-egyenlőtlenség szerint:

,

ami 3-mal átszorozva a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja:

.

Általánosítások[szerkesztés]

  • (mindhárom bizonyítás módszerével azonnal megkapjuk ennek az általánosításnak a bizonyítását is.)
  • Shapiro-egyenlőtlenség
  • Titu-lemma
  • súlyozott változat