Multilineáris forma

A lineáris algebrában egy $\omega$ $p$-multilineáris forma egy $p$ aritású függvény, ahol a változók $v_{i}\in V_{i},\;i\in \{1,\ldots ,p\}$ vektorok az ugyanazon $K$ test fölötti $V_{1},\ldots ,V_{p}$ vektorterekből, és a függvény értéke skalár a $K$ testből; továbbá minden változójában lineáris. Általánosabb esetben, amikor a képtér egy egynél magasabb dimenziós vektortér, vagy pedig vektorterek helyett modulusokról van szó, akkor multilineáris leképezésről beszélünk.

Definíció

Egy

${\begin{aligned}\omega :\ V_{1}\times \cdots \times V_{p}&\rightarrow K\\(v_{1},\ldots ,v_{p})\ &\mapsto \omega \left(v_{1},\dots ,v_{p}\right)\end{aligned}}$

leképezés multilineáris forma, ha minden $v_{j}\in V_{j},j\in \{1,\ldots ,p\}$ és minden $i\in \{1,\ldots ,p\}$ esetén teljesülnek a következő feltételek:

Minden $\lambda \in K$ esetén

$\omega \left(v_{1},\ldots ,\lambda \;v_{i},\ldots ,v_{p}\right)=\lambda \;\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)$

és minden $w\in V_{i}$ vektorra

$\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i}+w,\ldots ,v_{p}\right)=\omega \left(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{p}\right)+\omega \left(v_{1},\ldots ,w,\ldots ,v_{p}\right)$.

A multilineáris leképezések ${\mathcal {J}}^{p}(V_{1},\ldots ,V_{p})$ halmaza vektortér a $K$ test fölött. Ha $V_{1}=\cdots =V_{p}=:V$, akkor ${\mathcal {J}}^{p}(V):={\mathcal {J}}^{p}(V,\ldots ,V)$.

Alternáló multilineáris formák

Egy $\omega \in {\mathcal {J}}^{p}(V)$ multilineáris forma alternáló, ha értéke nulla, valahányszor két argumentuma megegyezik. Azaz

$\omega \left(\dots ,v,\dots ,v,\dots \right)=0$

minden $v\in V$ vektorra. Az alternáló lineáris formák ferdén szimmetrikusak, ami azt jelenti, hogy tetszőleges két változót felcserélve előjelet vált, vagyis

$\omega \left(v_{1},\dots ,v_{i},\dots ,v_{j},\dots ,v_{p}\right)=-\omega \left(v_{1},\dots ,v_{j},\dots ,v_{i},\dots ,v_{p}\right)$

minden $v_{k}\in V,\;k\in \{1,\ldots ,p\}$ és minden $i,j\in \{1,\ldots ,p\},\;i\neq j$ esetén. A megfordítás csak akkor következik, ha a skalártest karakterisztikája 2-től különböző, így például $K=\mathbb {R}$ esetén. Általánosabban, ha $\pi \in S_{p}$ az indexek permutációja, akkor

$\omega \left(v_{\pi (1)},\dotsc ,v_{\pi (p)}\right)=\operatorname {sign} (\pi )\cdot \omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{p}\right)$,

ahol $\operatorname {sign} (\pi )$ a permutáció előjele.

Az alternáló multilineáris formák $\Omega ^{p}(V)$ halmaza a ${\mathcal {J}}^{p}(V)$ vektortér altere. Egy fontos speciális eset a $\ p=\dim V$. Ekkor $\Omega ^{p}(V)$ egydimenziós altér, melynek vektorai determinánsfüggvények.

Az összes $\Omega ^{p}(V),p=0,1,2,\ldots$ által generált vektortéren algebra definiálható. Ez az algebra a Graßmann-algebra.

Példák

• A lineáris formák pontosan az 1-multilineáris formák.
• A bilineáris formák pontosan a 2-multilineáris formák. Az antiszimmetrikus bilineáris formák alternálók is, ha a skalártest karakterisztikája különbözik 2-től.
• Ha $n$ vektorból négyzetes mátrixot alkotunk, akkor a mátrix determinánsa alternáló, normált $n$-multilineáris forma. Például háromdimenziós vektorok esetén a mátrix determinánsa:

$\omega \left(v_{1},v_{2},v_{3}\right):=\det {\begin{pmatrix}v_{1x}&v_{2x}&v_{3x}\\v_{1y}&v_{2y}&v_{3y}\\v_{1z}&v_{2z}&v_{3z}\end{pmatrix}}$

alternáló 3-lineáris forma. A $v_{1},v_{2},v_{3}$ vektorok koordinátákkal ábrázolva:

$v_{1}={\begin{pmatrix}v_{1x}\\v_{1y}\\v_{1z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{2}={\begin{pmatrix}v_{2x}\\v_{2y}\\v_{2z}\end{pmatrix}},\quad \quad v_{3}={\begin{pmatrix}v_{3x}\\v_{3y}\\v_{3z}\end{pmatrix}}$.

• A kovariáns tenzorok multilineáris formák, és ha a $V_{i}$ vektorterek megegyeznek, azaz $V_{i}=V$, akkor a $p$-multilineáris formák $p$-edfokú kovariáns tenzorok. Ekkor a $p$-multilineáris formák teljesen antiszimmetrikus $p$-edfokú tenzorok.
• Egy differenciálforma egy differenciálható sokaság egy pontjához a hozzátartozó érintőtér egy alternáló multilineáris formáját rendeli.

Lásd még

Forma (algebra)

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0.
• Hans-Joachim Kowalsky, Gerhard O. Michler: Lineare Algebra. De Gruyter, Berlin 2003, ISBN 978-3-11-017963-7.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Multilinearform című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.